群数列のアナロジーとして群関数を考えたい

質問

数列と関数にはアナロジーがありますが、群数列に対応する関数があまりイメージできません。

あえて名前を群関数とでも名づけると、群関数とは例えば具体的にどのようなものが考えられるのでしょうか？

また、そもそも群数列自体が、高校ではよく見かけるものの、自然科学や大学での数学ではほぼみかけません。
群数列自体が役立っている分野とかはあるのでしょうか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

「群数列」なんて言葉、知りませんでした。ちょこっと検索してみると、群数列の要素は「第n群の第m項」などと指定されるとのことで、従って、
(1) 群数列とは数列（有限個の要素からなる数列）を要素とする列、というほどの意味でしょう。
　で、「数列と関数にはアナロジーがあ」ると仰るのは、こういうことでしょうか：

　数列の第n項の要素をｆ(n)と書くことができるから、数列ってのは自然数から実数（など）への関数である。ここでｆの定義域を自然数から実数に拡張すれば、実数から実数（など）への関数になる。
　同様に、群数列の第n群の第m項の要素をf(n,m)と書くことができるから、群数列は自然数×自然数から実数（など）への関数である。だったら、fの定義域を実数×実数に拡張したらどうか。

　もしそうだとすれば、群数列fの定義域を実数×実数に拡張したものは普通の2変数関数
f : 実数×実数 → 実数(など）
に他なりません。
たとえば群数列
f(n,m) = n+m (nは自然数、mは0≦m＜100の自然数）
の定義域を実数に変えて、
f(x,y) = x+y (xは実数、yは0≦y＜100の実数）
でもいいですね。
の拡張になっている。x, yが自然数の時には両者は一致するのですから。

(2) 　検索した結果、群数列について論じる際には、多くの場合、群数列f(n,m)に対して「群の分け目を外した数列」g(k)を考えるもののようです。
　ANo.1で「２次元の定義域を１次元に押し込めば良いんですかね？」と仰っている意味がようやく分かりました。
f(n,y) = n+y (nは自然数、yは0≦y＜100の実数）
であれば、ANo.1に付けられたコメントにあるギザギザの関数みたいなものでも良いけれども、
f(x,y) = x+y (xは実数、yは0≦y＜100の実数）
となると行儀良く並べることはできない。

　で、どうするかというと、たとえば

g(z) = f(x,y)
ただし、zを10進数の小数で表現した数字の列を小数点から数えて偶数番目の数字を並べて出来る列が表す数値がx、奇数番目の数字を並べて出来る列が表す数値がy。

という風にするのはひとつの手です。

たとえば
z = 102031.243546
なら
x = 123.456
y = 1.234
ですから、
g(102031.243546) = f(123.456, 1.234) = 123.456+1.234 = 124.69

　 x + yに限らず、f(x,y)がどんなものであっても、この手で無理矢理1次元に詰め込むことができる。また、この詰め込み方と本質的には同じことだけれも、2次元の面を埋め尽くす1次元曲線（その曲線のフラクタル次元が2であることが必要条件です）を使ってもうすこしエレガントにx,yとzの対応付けを作ることも出来ます。そのような曲線として最も有名なのはペアノ曲線でしょう。

　ところで「群数列自体が役に立っている」かどうかと言われますと、ええと、「群数列」なんて名前は知らなくたって、結構使ってます。要するに2次元以上の表は群数列とみなせる。
　もっとも「群の区切りを外したもの」gを考える必要は、あまり多くないですね。例を挙げると、
● 有理数に通し番号を付けることによって、有理数の個数は自然数の個数と丁度同じだけある、ということを証明する際には群数列みたいなことをやります。
● http://oshiete1.goo.ne.jp/qa184994.html のような問題では、gの番号の計算がかなり難しい。

回答No.1

arrysthmia

２次元の定義域を１次元に押し込めば良いんですかね？ それなら、
実数 x の整数部分を n、小数部分を y と書いて
f(x) = n + y^2 とか、どうですか？ このような、
いかにも作ったという感じのものしか、できそうにありません。

そもそも群数列自体が、試験問題の作成以外に役立ったところを
見たことないです。

お礼

>そもそも群数列自体が、試験問題の作成以外に役立ったところを
見たことないです。

そうですよね。群数列の意味合いっていったいなんなのでしょう？

オンライン数列辞典では、すべての数列を横に書くという仕方なさから、例えば二項係数も横一列に書いているのはわかります。
でも、それ以外で役立っているのを見たことがありません。

群関数というのは、例えば次のようなものが念頭にありました。
y=x(0<x<1)
y=x-1(1<x<3)
y=x-3(3<x<6)
y=x-6(6<x<10)
y=x-10(10<x<15)
…
ギザギザがどんどん大きくなっていく様子です。

また、２次元の定義域を１次元に押し込むという意味では、例えば平面の領域をペアノ曲線で覆い、曲線をパラメータt(0≦t≦1)で表し、領域上の二変数関数をtの一変数関数にするとか。
こんなのが役立ったり応用されたりってあるのでしょうか？