関数論の基本的なことがわかりません

質問

次の複素積分を求めよ。

　Ｃを正方向にもつ円｜z－ｉ｜＝１としたとき∫（ｃ’ｚ/(z-i)dz）

という問題が教科書等を見ても解りません。

分母がニ次式の場合は解るのですが、分母が一次式になると解りません。

分母が一次式の場合、分子のｚの処理の仕方を教えてください。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#1,#3,#4です。

A#4について

A#4の引用は修正してありますので
修正した通りで良いですよ。
コーシーの積分公式は留数を求めていることになります。

お礼

丁寧に質問に答えてくださってありがとうございます。
　おかげで、理解できました。

回答No.6

alice_44

仮分数を帯分数になおして、z/(z-i) = 1 + i/(z-i) と書けば、
被積分関数のローラン展開が済んだことになり、
z = i における留数は i であることが、ひと目で判る。
後は、留数定理に当てはめるだけ。(…と、A No.2 が言っている。)

回答No.4

info22_

>ｆ(z)=z
> コーシーの積分公式より
>　(1/(2πi))∫[c] z/(z-i)dz = f(i) = i
>∴　∫[c] z/(z-i))dz = -2π
>この解き方でもいいですか。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

>コーシー定理は、使えませんか？
コーシー定理は複素積分とは全く無関係な定理（群論関係）です。
用語を正しく使うこと。

コーシーの積分定理（参考URL）は正則な領域での定理なので使えません。

コーシーの積分公式はA#1で留数を求めるのに使っています。

留数が求まってから、その留数を使って積分値を求める式が留数定理です。
教科書や参考書、講義ノートでよく復習しておいてください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/コーシーの積分定理

お礼

解説、ありがとうございます。

ｆ(ｚ)＝ｚ
　コーシーの積分表示より
　1/2πｉ∫(c,z/(z-i))=f(i)=i
∴　∫(c,z/(z-i))=-2π
この解き方でもいいですか。

回答No.2

Tacosan

割る.

回答No.1

info22_

>分母が一次式の場合、分子のｚの処理の仕方を教えてください。
何が分からないのでしょうか？

留数は
Res(i)=lim[z->i]{z/(z-i)}(z-i)=lim[z->i]z=i
となるので留数定理より

∫[C:|z-i|=1|ｚ/(z-i)dz = 2πi Res(i)=-2π

お礼

ありがとうございます。
コーシー定理は、使えませんか？