重積分の問題です。お願いします。

質問

次の重積分を極座標に変換してもとめよ。
∫∫√ｘｄｘｄｙ　　（x^2+y^2＜ｘ）

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x^2+y^2<x
(x-(1/2))^2+y^2<(1/2)^2
|y|<1/2,0<x<1/2
被積分関数の√内=x≧0

これに極座標の変換公式
x=rcosθ, y=rsinθ（0<r<1,-π/2≦θ＜π/2）
r^2<rcosθ
r(r-cosθ)<0
r＞0なのでrで割って
r-cosθ<0
0<r<cosθ (-π/2<θ<π/2)
dxdy=rdrdθ
なので
∫∫[D] √x dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2＜x}
=∫[-π/2,π/2] dθ∫[0,cosθ]　√(rcosθ)rdr
=∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ∫[0,cosθ](r^(3/2)dr
=∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ(2/5)[r^(5/2)] [r:0,cosθ]
=∫[-π/2,π/2] √(cosθ)(2/5)(cosθ)^(5/2)dθ
=(2/5)∫[-π/2,π/2] (cosθ)^3 dθ
=(4/5)∫[0,π/2] (cosθ)^3 dθ
=(4/5)∫[0,π/2] (sinθ)'*(1-sin^2θ) dθ
=(4/5)[sinθ-(1/3)sin^3θ] [0,π/2]
=(4/5){1-(1/3)}
=(4/5)(2/3)
=8/15