重積分の問題を教えてください。

質問

∬D√(4x^2-y^2) dxdy 　D: ０≦y≦x≦1

上記の重積分の問題についてですが、どのように解いていいか分かりません。

√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√（1-（y/2x)^2）

y/2x=sinθとすると　ｙ=2xsinθ　ｄｙ=2xcosθdθ　　

として良いでしょうか。　続きまたは最初からご教授宜しくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

＞∬D√(4x^2-y^2) dxdy 　D: ０≦y≦x≦1
＝∫［０→１］dx・∫［０→ｘ］√(4x^2-y^2)ｄｙ

＞√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√（1-（y/2x)^2）
＞y/2x=sinθとすると　ｙ=2xsinθ　ｄｙ=2xcosθdθ　
続きから、　
ｙ=2xsinθを代入して、　
√(4x^2-y^2)＝２ｘ√（１－sin^2θ）＝２ｘcosθ
ｙ：０→ｘは、θ：０→π/6
∫［０→１］dx・∫［０→ｘ］√(4x^2-y^2)ｄｙ
＝∫［０→１］dx・∫［０→π/6］２ｘcosθ・2xcosθdθ
＝∫［０→１］４ｘ^2dx・∫［０→π/6］cos^2θdθ

ここで、２倍角の公式より、
∫［０→π/6］cos^2θdθ
＝∫［０→π/6］(1/2)（１＋cos2θ）dθ
＝(1/2)［θ＋(1/2)sin2θ］［０→π/6］
＝(1/2)｛π/6＋(1/2)sin（π/3）｝
＝(1/2)（π/6＋√3/4）

∫［０→１］４ｘ^2dx・∫［０→π/6］cos^2θdθ
＝∫［０→１］４ｘ^2×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝dx
＝４×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝・∫［０→１］ｘ^2dx
＝４×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝×（１／３）
＝(1/18)（３√３＋２π）

でどうでしょうか？

お礼

自分の考えの続きから回答していただき、
わかりやすく、大変助かります。
どうもありがとうございました。

回答No.3

151A48

♯２ですが
高校生ではないですよね・・・
∫√(a^2-x^2)dx=(1/2){x√(a^2-x^2) +(a^2)sin^(-1)(x/a)}
sin^(-1)( )はsinの逆関数の意味。
という公式習いませんでしたか。
問題の式で，yについての積分とみなすときは4x^2=(2x)^2は定数扱いです。

お礼

ご指摘いただいた公式で解けること理解できました。
今まで気づかずにいたので大変参考になります。
ありがとうございます。

回答No.2

151A48

√（4x^2 -y^2)のｙについての不定積分は公式を使って
(1/2){y√(4x^2-y^2) + 4x^2sin^(-1)(y/2x)}
これをy：0→xで定積分
結果をｘについて積分（ｘ：0→1）

お礼

どうもご回答ありがとうございます。
自分の勉強不足で申し訳ないですが、
どの公式をどのように使えば上式になるか
教えていただけると助かります。

回答No.1

Ae610

∬D√(4x^2-y^2) dxdy 　
= ∫[0,1]{4x^2}dx・∫[0,π/6]{cos^2θ}dθ

お礼

ご解答ありがとうございます。
よろしければ、途中の式なども教えていたくと
助かります。