重積分の問題

質問

次の問題の解答と解説をお願いします。
また、重積分がちんぷんかんぷんで困っています。
どこか、わかりやすいお勧めのサイトがあれば教えてください。
勉強して、わかるようになりたいと思います。

【問題】
∬A xdxdyを求めよ。ただし、A : x + y>=1. x^2 + y^2<=1

何卒、よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> A : x + y>=1. x^2 + y^2<=1

　うーむむ。こんな出題じゃ、ちんぷんかんぷんになるのも無理ないって気がしますね。
　きちんと書けば：　Aとは平面上の点の集合
　　A = {(x,y) | x+y≧1} ∩ {(x,y) | x^2 + y^2≦1}
である。同じ意味ですが
　　A = {(x,y) | x+y≧1 ∧ x^2 + y^2≦1}　(∧は"AND"という意味です)
つまり、Aとは「x+y≧1であって、しかもx^2 + y^2≦1であるような点(x,y)すべて」という領域のことです。Aがxy平面上でどんな格好になるか、グラフを描いて確かめなくちゃいけません。

　で、計算するのは
　　S = ∫∫{(x,y)∈A} x dx dy
である。
　どうやるかと言いますと、yが定数だと思って定積分
　　J(y) = ∫{(x,y)∈A} x dx
を計算し、さらに（今度はyが変数だと思って）定積分
　　S = ∫{y=-∞～∞} J(y) dy
を計算するんです。

　さてここで、
　　J(y) = ∫{(x,y)∈A} x dx
のxの積分範囲は、「(x,y)∈Aになるようなxの範囲」ということです。つまり、「x+y≧1であって、しかもx^2 + y^2≦1であるようなxの範囲」を、不等式で表せば良い。このとき、yは定数だと思えばいいんです。

　この問題の場合には、Aのグラフを描けば分かるとおり、
　　●　y＞1のとき、(x,y)∈Aとなるxはない。
　　●　1≧y＞0のとき、(x,y)∈A とは (1-y ≦ x ≦ √(1-y^2) )ということ。
　　●　0＞yのとき、(x,y)∈Aとなるxはない。
ですから、
　　y＞1のとき　　 J(y) = 0
　　1≧y≧0のとき　 J(y) = ∫{x=1-y～√(1-y^2)} x dx
　　0＞yのとき 　　J(y) = 0
である。
　なので、1≧y≧0のときのJ(y)をまず計算して、それを使って
　　S = ∫{y=0～1}J(y)dy
をやれば良い。y＞1のときと0＞yのときにはJ(y)=0だから積分範囲に入れる必要がない訳です。

　以上を一つの式としてまとめて書けば
　　S = ∫{y=0～1} ∫{x=1-y～√(1-y^2)} x dx dy
です。

お礼

なるほど！！
詳しい解答、ありがとうございます。