重積分に関してです

質問

∫∫∫z^2dxdydz. D:0≦x^2+y^2≦z≦4
という重積分なのですが円筒座標系で置換してとこうと思ったのですが、このときθの積分区間は0≦θ≦2πでいいと思うのですがzとrの積分区間が0≦r≦z^(1/2).r^2≦z≦4となればいいのかなと思いこの区間で重積分を実行したところ積分の順番によってzやrが残ってしまいました。
どの様にやればいいでしょうかアドバイスお願いしますm(_ _)m

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

I=∫∫∫[D] z^2dxdydz. D:0≦x^2+y^2≦z≦4
=∫∫[D1] {∫[x^2+y^2,4] z^2dz}dxdy. D1:0≦x^2+y^2≦4
=∫∫[D1] {[z^3/3] [z=x^2+y^2,4]}dxdy. D1:0≦x^2+y^2≦4
=∫∫[D1] (1/3){64-(x^2+y^2)^3}dxdy

x=r*cosθ,y=r*sinθで置換、dxdy=|J|drdθ=rdrdθ

I=(1/3)∫[0,2π]dθ∫[0,2] (64-r^6)rdr
=(1/3)2π∫[0,2] (64r-r^7)dr

ここから先は、単なるべき乗の積分ですから、ご自分でできますね。

回答No.4

noname#171582

こんにちは。
ｚやｒが残るのはたはりどこかで間違ったものと思われます。
I＝６４πになりましたが。

回答No.3

hugen

r^2≦z≦4 　ではなく　0≦z≦4

回答No.1

Tacosan

ん～, 単に円筒座標系に変換するだけでいいはずなんだけど....
どのような計算をしたんでしょうか?