重積分の問題です

質問

D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}、∫D √x y^2 dxdy
という問題なのですが、これは極座標変換という方法で解く問題でしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>∫D √x y^2 dxdy
ルートの内部の範囲が分かりません。

I=∫[D] (√x) y^2 dxdy で良いですか？

そうなら
D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
={(x,y)|x^2+y^2≦2x}
x=r cosθ, y=r sinθとおくと
Ｅ={(r,θ)|0≦r≦2cosθ, -π/2≦θ<π/2}
I=∫[E] (rcosθ)^(1/2) r^2 (sinθ)^2 rdrdθ
=∫[θ:-π/2,π/2] dθ∫[r:0,2cosθ] r^(7/2)*(cosθ)^(1/2)*(sin(t))^2 dr
=∫[θ:-π/2,π/2] (cosθ)^(1/2)*(sin(t))^2 dθ {[(2/9)r^(9/2)][r:0,2cosθ]}
=∫[θ:-π/2,π/2] (cosθ)^(1/2)*(sin(t))^2 *{(2/9)2^(9/2)*(cosθ)^(9/2)}dθ
=(32/9)(√2)∫[θ:-π/2,π/2] (sin(t))^2*{1-(sinθ)^2}^2*cosθ dθ
=(32/9)(√2)∫[θ:-π/2,π/2] {(sinθ)^2-2(sin(t))^4+(sinθ)^6}*cosθ dθ
=(32/9)(√2) [(1/3)(sinθ)^3-(2/5)(sin(t))^5+(1/7)(sinθ)^7] [θ:-π/2,π/2]
=(32/9)(√2)*2{(1/3)-(2/5)+(1/7)}
=(64/9)(√2)(8/105)
=(512/945)√2

お礼

書き方が良くなかったですね、申し訳ないです。
(√x)y^2で合ってます。
こんなに途中式の長い計算だとは・・・本当にありがとうございます。