重積分の解を求めてください。

質問

重積分の問題で解けないものがあり困っています。
変数変換を使って解く問題です。

Q.変数変換を用いて２重積分を求めよ。

∬D√{(a^2)-(x^2)-(y^2)}dxdy, D={(x,y);x^2+y^2≦1, ｘ≧0, y≧0} (a>0)

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

I=∬[D]√{(a^2)-(x^2)-(y^2)}dxdy

変数変換：x=rcosθ,y=rsinθ(0≦r≦a,0≦θ≦π/2)を行えば
積分領域Dは
>D={(x,y)|x^2+y^2≦1, ｘ≧0, y≧0}
これは「D={(x,y);x^2+y^2≦a^2, ｘ≧0, y≧0}の間違い。
そうであれば
D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2, ｘ≧0, y≧0}
={(r,θ)|0≦r≦a,0≦θ≦π/2}
√{(a^2)-(x^2)-(y^2)}dxdy
={√(a^2 -r^2)}|J|drdθ, Jはヤコビアン。
={√(a^2 -r^2)}rdrdθ

I=∬_D {√(a^2 -r^2)}rdrdθ
累次積分に直すと
=∫[0,π/2] dθ∫[0,a]{√(a^2 -r^2)}rdr
=(π/2)∫[0,a]{(a^2 -r^2)^(1/2)}rdr
=(π/2)∫[0,a]{(-1/2)(a^2-r^2)'*(a^2 -r^2)^(1/2)}dr
=-(π/4)∫[0,a]{(a^2-r^2)'*(a^2 -r^2)^(1/2)}dr
合成関数の積分公式を適用して
=-(π/4)[(2/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,a]
=(π/6)a^3