この重積分の問題が解けません・・・

質問

以下の重積分が分からず、困っています。
どなたか解ける方がいれば、教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

∬(x+y)^2 dxdy
x+y≦2
0≦x
0≦y

回答No.1

noname#231363 · ベストアンサー

x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。
x+y≦2から、y≦2-x
yについての積分区間は、0～2-x
xについての積分区間は、0～2

∬(x+y)^2 dxdy
=∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx
=∫[0～2]{∫[0～2-x](x^2+2xy+y^2)dy}dx
=∫[0～2]{[x^2y+xy^2+y^3/3}[0～2-x]}dx
=(1/3)∫[0～2]{3x^2(2-x)+3x(2-x)^2+(2-x)^3)}dx
=(1/3)∫[0～2](-x^3+8)dx
=(1/3)[-x^4/4+8x][0～2]
=1/3×(-2^4/4+8×2)
=1/3×15
=5

お礼

詳しくご解説頂きありがとうございます。
1番最初に回答して下さったので、ベストアンサーに選ばさせて頂いました。
この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。

回答No.3

noname#231363

ANo.1とANo.2の回答者です。
もっと簡単にできましたね。

x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。
x+y≦2から、y≦2-x
yについての積分区間は、0～2-x
xについての積分区間は、0～2

∬(x+y)^2 dxdy
=∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx
=∫[0～2]{[(x+y)^3/3][0～2-x]}dx
=(1/3)∫[0～2](2^3-x^3)dx
=(1/3)[8x-x^4/4][0～2]
=1/3×(8×2-2^4/4)
=1/3×12
=4

お礼

詳しくご解説頂きありがとうございます。
分かりました、助かりました。
この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。

回答No.2

noname#231363

ANo.1の訂正です。
ANo.1は無視してください。

x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。
x+y≦2から、y≦2-x
yについての積分区間は、0～2-x
xについての積分区間は、0～2

∬(x+y)^2 dxdy
=∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx
=∫[0～2]{∫[0～2-x](x^2+2xy+y^2)dy}dx
=∫[0～2]{[x^2y+xy^2+y^3/3}[0～2-x]}dx
=(1/3)∫[0～2]{3x^2(2-x)+3x(2-x)^2+(2-x)^3)}dx
=(1/3)∫[0～2](-x^3+8)dx
=(1/3)[-x^4/4+8x][0～2]
=1/3×(-2^4/4+8×2)
=1/3×12
=4

お礼

詳しくご解説頂きありがとうございます。
お陰さまで理解できました。
この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。