漸化式が解けません

質問

今学校のレポートで、漸化式の問題をやっているのですが、漸化式an＝｛(n-1)/n｝an-2を出すとこまではいったのですが、そこから一般式を導くことが出来ません。an+1とanだけなら分かるのですが、２つ項が違うと解き方が分かりません。どなたかヒントでもいいので教えてください！

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

ANo.2です。

> これは(2n)までの偶数同士を全部かけてるので、
> (分母) = 2(n !)
>
> これなんですが例えばn=3の時を考えた時、
> 　２(3×2×1）となってしまい結局２は３２１のどれかにしかかけれないので12になってしまいます。
> ２＾n(n!)じゃないでしょうか？

すみません。こちらのミスです。
２＾n(n!)であってます。
そうすると、分子の方も２＾n(n!)でわらないといけないので

a2n = { (a2)× 2 } × { (2n) ! }/[ { (2^n)(n !) }^2 ]

となりますね。

> また式を一般式で表さないといけないんでしょうか？
> ただAn= + + ...と書くのじゃ答えにはならないんですかね？

問題にも依ると思います。
単に「A10を求めよ」等の問題であれば、例えば
An = 1×2×3×……×n
の時、わざわざAnの一般式
An = n !
を求めなくても良いと思うのですが、
「一般式を求めよ」という式であれば
An = n !
という答えにする必要があると思います。
ただ、数学の記号等を使っても、うまく式をまとめられないなら
それはそれでしょうがないと思います。
もしかしたらその数列は、今まで使ったことのないような数学記号を
使わないとまとめられない、なんて場合もあるかもしれないですし。

できれば綺麗（？）な形にまとめ、試しても無理な時は
一番分かりやすい形で書いておけば良いと思います。

お礼

ありがとうございました！とても参考になりました。
感謝しています！！

回答No.2

R_Earl

元々の漸化式の形が分からないのではっきりと分かりませんが、
恐らくnが偶数と奇数の場合とで違う形になるものかもしれません。

an＝｛(n-1)/n｝an-2
→an+2＝｛(n+1)/n+2｝an (とりあえずnをn+2に置き換えました。)
→a2(n+1)＝｛(2n+1)/2n+2｝a2n (nを2nに置き換える)

ここでa2n=bnとおくと

a2(n+1)＝｛(2n+1)/2n+2｝a2n
→bn+1 = ｛(2n+1)/2n+2｝bn

この数列bnは、anのnが偶数の時の数列です。
上の式より

bn
= (b1)×[ (3/4)×(5/6)×(7/8)×…………×｛(2n-1)/2n｝]
ここで、[ ]で閉じた部分をもうちょっと綺麗な形にするため、
[ ]内に(1/2)をかけ、式全体に2をかけます。
すると

bn
= (b1)× 2 × [ (1/2)×(3/4)×(5/6)×(7/8)×…………×｛(2n-1)/2n｝]

となります。
ここで[ (1/2)×(3/4)×(5/6)×(7/8)×…………×｛(2n-1)/2n｝]を
考えると、分母は2×4×……×(2n)となっており、
これは(2n)までの偶数同士を全部かけてるので、
(分母) = 2(n !)
と表されます。
逆に分子は1から(2n-1)までの奇数全部をかけています。
これは(2n) !から、偶数の部分だけ消し去った事になるので、式に表すと
(分子) = { (2n) ! }/{ 2(n !) }
というふうになりますよね？
よって
[ (1/2)×(3/4)×(5/6)×(7/8)×…………×｛(2n-1)/2n｝]
= { (2n) ! }/[ { 2(n !) }^2 ]
となるので

bn = { (b1)× 2 } × { (2n) ! }/[ { 2(n !) }^2 ]
a2n = bnより、
a2n = { (a2)× 2 } × { (2n) ! }/[ { 2(n !) }^2 ]――――（＊）

あとは（＊）式の中のnをすべて2で割れば、
anの『nが偶数の時の一般式』がでるはずです。
これ元に、nが奇数の時の式も作れると思います。

補足

親切なお返事ありがとうございます。
ちょっと違うんではないかと思ったことがあるので質問します。

これは(2n)までの偶数同士を全部かけてるので、
(分母) = 2(n !)

これなんですが例えばn=3の時を考えた時、
　２(3×2×1）となってしまい結局２は３２１のどれかにしかかけれないので12になってしまいます。
　２＾n(n!)じゃないでしょうか？

また式を一般式で表さないといけないんでしょうか？
ただAn= + + ...と書くのじゃ答えにはならないんですかね？

回答No.1

mickel131

sinxのn乗の積分の計算でしょうか？

A(n)＝｛(n-1)/n｝A(n-2)
が成り立つということは、
A(n-2)＝｛(n-3)/(n-2)｝A(n-4)
も成り立つということですね。
これを繰り返していけば・・・やがて、
A(2)かA(1)にたどり着きますね。
nが偶数の場合（n=2m,mは整数）と、
nが奇数の場合（n=2m-1,mは整数）に分けてやってみましょう。

お礼

そうです。mickel131さんの言う通りにしたら解けました。ありがとうございました！