漸化式について

質問

a₁＝5　a ₙ₊₁＝4a ₙ−9/a ₙ−2
この漸化式のa ₙの求め方を教えていただきたいです

回答No.3

asuncion

おっとtypo

＞(4)よりa[k+1] = 4 - 1 / (a[k] - 2) ... (5)
(3)よりa[k+1] = 4 - 1 / (a[k] - 2) ... (5)
です。

回答No.2

asuncion

a[1] = 5 ... (1)
a[n+1] = (4a[n] - 9) / (a[n] - 2) ... (2)
で示される数列{a[n]}の一般項を求める。

(2)よりa[n+1] = (4a[n] - 8 - 1) / (a[n] - 2) = 4 - 1 / (a[n] - 2) ... (3)
(1)(3)を用いて、a[n]の初めの数項を求めてみる。
a[2] = 4 - 1 / (5 - 2) = 4 - 1/3 = 11/3
a[3] = 4 - 1 / (11/3 - 2) = 4 - 3/5 = 17/5
a[4] = 4 - 1 / (17/5 - 2) = 4 - 5/7 = 23/7
a[5] = 4 - 1 / (23/7 - 2) = 4 - 7/9 = 29/9
...

以上より、a[1] = 5 = 5/1であることをあわせて、
一般項の分子 = 5, 11, 17, 23, 29, ... = 6n - 1
一般項の分母 = 1, 3, 5, 7, 9, ... = 2n - 1
より
a[n] = (6n - 1) / (2n - 1)と推測できる。
この推測が正しいことを数学的帰納法で示す。
n = 1のとき
a[1] = (6 - 1) / (2 - 1) = 5より成立
n = kのとき
a[k] = (6k - 1) / (2k - 1)と仮定して、
a[k+1] = {6(k+1) - 1} / {2(k+1) - 1} = (6k + 5) / (2k + 1) ... (4)を示す。
(4)よりa[k+1] = 4 - 1 / (a[k] - 2) ... (5)
a[k] - 2 = (6k - 1 - 4k + 2) / (2k - 1) = (2k + 1) / (2k - 1)だから
(5)より
a[k+1] = 4 - (2k - 1) / (2k + 1)
= (8k + 4 - 2k + 1) / (2k + 1)
= (6k + 5) / (2k + 1)
よって(4)の成立が示せたので、
a[n] = (6n - 1) / (2n - 1)はすべての自然数nで成立。
∴数列{a[n]}の一般項は(6n - 1) / (2n - 1)

回答No.1

tmpname

分数式のどこからどこまでが分母で、どこからどこまでが分子かが明瞭でないので、明確になるように記載をお願いします。