再帰的定義

質問

(2n)!/(n!)^2　(n≧1)
の再帰的定義を与えよ。

という問題が分かりません。
1から順に代入してみても規則性が分からなくて困っています。

よろしくお願いします。

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

> 計算してみたら、
> 2(n+1)/(n+1)^2 = 2/(n+1)
> となったのですが、まだ分かりません。

分子が違います。

a_(n + 1)
= { 2(n + 1) }! / { (n + 1)! }^2
= (2n + 2)! / { (n + 1)! }^2

よって、a_(n + 1)の分子は

(2n + 2)!
=(2n + 2)(2n + 1)(2n)(2n - 1)(2n - 2)…(3)(2)(1)

となります。
a_nの分子は(2n)! = (2n)(2n - 1)(2n - 2)…(3)(2)(1)なので、
a_(n+1)とa_nを約分したら(2n + 2)(2n + 1)が残ります。
つまり、質問者さんの計算結果には(2n + 1)が抜けているんです。
(ANo.2の方へのお礼欄に書かれている式に関しては、(2n - 1)が抜けていませんか？)

> すみません、どうしても理解できないので、解法を教えて下さると助かります。

a_(n+1) / a_n = f(n)となった時、この式の両辺にa_nをかければ
a_(n+1) = f(n)a_nとなり、再帰的定義の形になるはずです。

お礼

計算ミス申し訳ありませんでした。
なるほど、a_(n+1) = f(n)a_nと変形するんですね、理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

a_(n+1) / a_n
を計算すればわかる, はず.

お礼

ありがとうございます。

計算してみたら、
2(n+1)/(n+1)^2 = 2/(n+1)
となったのですが、まだ分かりません。
すみません、どうしても理解できないので、解法を教えて下さると助かります。

回答No.2

rinkun

答えを出してしまうのは拙そうだからヒントだけ。
(2n)!/(n!)^2＝(2n)(2n-1)(2n-2)!/(n^2)((n-1)!)^2
まあほとんど答えだけど。

お礼

すみません、こっちが正しいです。

a_1=2
a_n=(2n/n^2)*(a_n-1)=(2/n)*(a_n-1) (n≦2)

と思ったのですが、数が合いません。
ほとんど答えみたいなのですが、まだ理解できません、お願いします。

補足

a_1=2
a_2=(2n/n^2)*(a_n-1)=(2/n)*(a_n-1) (n≦2)

と思ったのですが、数が合いません。
ほとんど答えみたいなのですが、まだ理解できません、お願いします。

回答No.1

Tacosan

数値を代入して本当に計算しちゃうとかえってわからなくなるかも.
今の場合に限っていえば
a_n = (2n)! / (n!)^2
とおいて a_(n+1) と a_n がどういう関係にあるかを考えてみてください.
ヒネらずに, 単純に答えれば多分それで正解のはず.