代数学の質問です。

質問

Ｆ５[X]∋X3乗＋X+1は既約元であることを示せ。
という問題が分かりません。
できれば詳しくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

５元体 F5 上の多項式環 F5[X] において、X^3 + X + 1 が因数分解できないことを示せ
…という問題なら、因数定理を使えばいい。
X^3 + X + 1 に X = 0, 1, 2, 3, 4 を代入してみると、X^3 + X + 1 = 1, 3, 1, 1, 4。
X^3 + X + 1 = 0 となる X が存在しないから、X^3 + X + 1 は一次因子を持たない。
三次多項式だから、因数分解できたとすれば一次因子を持たざるをえず、
したがって、X^3 + X + 1 は因数分解できない。

お礼

ありがとうございました！おかげさまでわかりました！！

回答No.1

Tacosan

文章を読むに, おそらく
「F5「X] という集合」の中に「X^3+X+1」という元がある. これが (なんかの条件を満たすために) 「既約元」であることを証明しなさい
という問題だと思うよ. これ以上詳しく説明しようとしても (「既約元」はまだしも) 「F5[X] なるものが何物なのか」が明らかでないので無理だろう.
まあ「どのような条件を満たす時に『既約元』なのか」を理解していればできるような気もしないでもないけど, やっぱり「F5[X]」次第だなぁ.

お礼

見てくれてありがとうございました！