線形代数の問題について。

質問

W={f(x)∈R[x](3乗) ｜ f(1)=0 , f'(1)=0}のベクトル空間Wの次元と基を求めよ。

未知数が４個で条件が２つなので、どうしても解けないんですが（解答が無いので解き方も良く分からない）、どういった方法がありますか？教えて下さい。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

「解けない」というのは、連立一次方程式
a + b + c + d = f(0) = 0
3a + 2b +c = f'(0) = 0
の解がひとつに定まらない　という意味ですね。

解がひとつに定まらないから、良いのです。

その方程式を解いて a, b, c, d を決めようとすると、消去法を行うときに、
消しきれずに、どうしても残ってしまう文字がありますね。
どの文字が消せて、どの文字が残るかは、消してゆく手順に依りますが、
残ってしまう文字の個数だけは、手順に依らず決まっています。
その個数が、解空間の次元 dim W です。

dim W = 2 が分かってしまえば、基底を構成するには、
W の元で、相互に定数倍ではないものを 2 個 1 組見つければok。
私なら、{ (x-1)^2, (x-1)^3 } か { (x-1)^2, x(x-1)^2 } を挙げますが、
{ 1-2x+x^2, 2-3x+x^3 } でも、他のものでも、
とにかく基底の条件を満たしていれば良いでしょう。
a, b, c, d の内の 2 文字の値を、任意に定めて得られるものでもよい。

ベクトル空間の基底が、唯一に定まるものでないことは、
理解していますね？

お礼

大変参考になりました。ありがとうございます。

＞私なら、{ (x-1)^2, (x-1)^3 } か { (x-1)^2, x(x-1)^2 } を挙げますが

これは、どういった発想から思いついたのでしょうか？

回答No.6

arrysthmia

No.3 の者です。

R[x](3乗) の基底として { 1, x-1, (x-1)^2, (x-3)^3 } を採用すれば、
私の挙げた W の基底の由来が分かります。

お礼

色々アドバイスありがとうございます＾＾
検討してみようと思います。ありがとうございました！

回答No.5

Jyaikosan

＞＞f(1)=0 , f'(1)=0 という条件がなければ{ 1 , x , x^2 , x^3 } が一番簡単な基底

＞ここがいまいち腑に落ちないんですが、どういうことでしょう？

f(x) = a+bx+cx^2+dx^3 を (a , b , c , d) と簡単(あるいは綺麗)に表現するためです。

基底のとりかたは一意ではありませんが、{ 1 , x , x^2 , x^3 } 以外の基底では
(a , b , c , d) と書くことができません。

なお、No3の方が{ (x-1)^2, (x-1)^3 }などを基底として挙げる理由は
(x-1)という因子のおかげで条件 f(1)=0 , f'(1)=0 を満たすことが
明示されるからだとおもいます。（違ってましたらごめんなさい。）

お礼

なるほど！解決できました！
本当にありがとうございます＾＾

回答No.4

Jyaikosan

f(1)=0 , f'(1)=0 という条件がなければ{ 1 , x , x^2 , x^3 } が一番簡単な基底で、

この基底に関するf(x)の座標表示は(a , b , c , d)です。

今、条件 f(1)=0 , f'(1)=0 により独立な変数は c , d の２個に減ります。

a + b + c + d = 0 , b + 2c + 3d = 0

→ a = c + 2d , b = -2c-3d

∴ f(x) = (a , b , c , d) = (c + 2d , -2c-3d , c , d)

= c(1 , -2 , 1 , 0) + d(2 , -3 , 0 , 1)

これは Wが (1 , -2 , 1 , 0) = 1-2x+x^2 と (2 , -3 , 0 , 1) = 2-3x+x^3
を基底とする2次元ベクトル空間であることを示しています。

なお、No3の方がおっしゃられているように、基底の取り方は無数にあります。
私のやりかたはその中のひとつにすぎません。

お礼

とても分かりやすく書いていただき感謝です。９割型解決しました。
基底に関するf(x)の座標表示という考え方はスゴイ！と思いました。

ところで、

＞f(1)=0 , f'(1)=0 という条件がなければ{ 1 , x , x^2 , x^3 } が一番簡単な基底

ここがいまいち腑に落ちないんですが、どういうことでしょう？

何度もすみません＞＜

回答No.2

noname#101087

>W={f(x)∈R[x](3乗) ｜ f(1)=0 , f'(1)=0}のベクトル空間Wの次元と基を求めよ。
>
>未知数が４個で条件が２つなので、どうしても解けないんですが .....

「解けない」というのは、[a,b,c,d] が一意的に求まらない、ということのようですね。
問題のベクトル空間W の次元(dim)は 0 次元じゃありませんから、当然だと思います。

補足

答：dim(W)=2 、基{1-2x+x^2,2-3x+x^3}

答は↑のようです。

とりあえず、この次元と基をどうやって求めているのか分かりません。

回答No.1

koko_u_

>未知数が４個で条件が２つなので、どうしても解けないんですが

どう「解こう」としているのかを補足にどうぞ。
ついでに「R[x](3乗) 」が何を意味しているかも。

補足

R[x](3乗) ←これはf(x)=a+bx+cx^2+dx^3の多項式を表しています。

個人的に、未知数abcdが分かったらどうにかなるのかな～？とか思ってたりしますが、条件が足りなくて…

f(x)をベクトルとして扱うんだと思うんですが、どうも良く分かりません＞＜