√a+b の二乗

質問

√a+b の二乗
根号の中にa+bがあり、根号ごと二乗するときの計算のやりかたを教えてください。

この質問のように、√a+b をまるごと二乗するのと
根号の中のa+bに（　）がついており、それを二乗するのとでは
違うのですか?
なんかよくわからないです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

＞ 根号ごと二乗するとどうなるのでしょうか？

No.2 に書きましたよ？

＞ ( √z )^2 = z は、√ の定義から当然。

です。{ √(a+b) }^2 = a+b と書かなかったらいけなかったのかな。

もともと、√ の定義が、y^2 = x となるような y (または、その一つ) を
y = √x と決めたのですから、上記のようになることは「定義より自明」。

補足

回答ありがとうございました。
すみません。ちゃんと書いてありましたね。

理解できました。

回答No.2

alice_44

( √(a+b) )^2 と √( (a+b)^2 ) の違いでしょ？
a+b = z と置けば見やすい。

( √z )^2 = z は、√ の定義から当然。
もう一つのほうは、√( z^2 ) = ±z なんだけど、
± をどっちかに決めようと思ったら、
多価関数の枝選択という問題が絡んでくる。
z が実数に限られている場合には、伝統的に、
√( z^2 ) = |z| と決めることになっている。

√x を複素関数で考える場合には
たまたま x に実数を代入するときにも √x は多価関数だから、
( √(-1) )^2 = i^2 = -1 との比較で論ずる際に
√( (-1)^2 ) = √1 = 1 とするのは、どうかと思う。

たぶん、√1 = ±1 とするほうがバランスがよい。
√1 = 1 の世界で考えたいなら、i^2 は持ち出すべきでない。

補足

回答ありがとうございます。
まだその「多価関数」というのが何かわからないレベル（進んでいない）のでわからないのですが、違いはわかりました。

では、√a+b　を√も含めて二乗する、つまり、{ √(a+b) }^2 はどうなるのでしょうか？
√のなかのa+bだけを二乗するなら、｜a+b｜になるということだと思うのですが、根号ごと二乗するとどうなるのでしょうか？

回答No.1

noname#212058

『根号の中のa+bに（　）がついており、それを二乗する』 というのは根号の中に（a+b)^2 があるということでしょうか？

例えば、a = 2、b = -3 で考えた場合、

・根号の中にa+bがあり、根号ごと二乗
　(√a+b)^2 = (√(-1))^2 = (i)^2 =-1　　(i は虚数)

・根号の中に（a+b)^2 がある
　√(（a+b)^2) = √((-1)^2) = √1 = 1

で、結果が異なりますよね。

補足

・根号の中にa+bがあり、根号ごと二乗
のほうです。
数字だといいのですが、文字でa+bだと、どう計算したらいいのかわからなくなります。