集合の要素の代表値である変数xのイメージについて

質問

ちょっとした事なんですが。
A={1、2、3、…}
があるとします。
xを用いて表すと
A={x|x>0、xは整数}
となります。

集合の円の図でイメージしてみると、円の中に1、2、3、…と書かれていたものが、xを用いて表すとx一文字になります。
このイメージについてです。

以下では、図で考えます。式での表し方では間違った書き方になると思うので。
A={1、2、3、…}において、x=1、2、3、…だから
A={x=1、x=2、x=3、…}
つまり
A={x、x、x、…}
同じ要素があるのはおかしいので、xが一カ所に集まって
A={x}
（図で考えてるので、xの条件はとりあえず書きません。）

というイメージは大丈夫でしょうか?

もしくは
A={1、2、3、…}において
x=1、2、3、…より
A={x}
の方がいいでしょうか?

…どちらも同じような感じですかね。

x一文字で全ての要素を表すときのイメージについて教えて下さい。

回答No.6

felicior · ベストアンサー

xは常にひとつの数の代わりをしています。
ですから例えばx=1とx=2は両立しません。たとえば、
　　x=1が真のとき、x=2は偽です。
　　x=2が真のとき、x=1は偽です。
　　x=3が真のとき、x=1もx=2も偽です。
このように、x=1とx=2が両方偽になることはあっても両方真になる場合（状況）はありません。
これはxを変数として見ているか定数として見ているかに関わらず言えることです。

もし「x=1の場合においてx=2のとき…（中略）…となるaを求めよ。」
なんて問題があったとすると、中略の部分に何が書いてあろうと、
「1=x=2より1=2。これは矛盾であり問題の条件はいかなる場合でも不成立。よってaの解なし。」
となってしまいます。

方程式(x-1)(x-2)=0の解はx=1,2と書くじゃないかと思われるかもしれません。
しかしこれは「x=1またはx=2」の略記です。
ひとつひとつの解が方程式を満たすための十分条件になっています。
決して「x=1かつx=2」の略記ではないですし、x={1,2}という集合を表しているわけでもありません。
{1,2}は解集合といってまた別のものです。
別の文字を使ってA={1,2}と定義すればx∈Aと書くことはできます。

不等式(x-1)(x-2)≦0の解は1≦x≦2と書きますが、
これも同様に「x=1またはx=2またはx=1.1またはx=1.2または…x=1.01または…」
の意味と解することができます。

以上を踏まえると、

>> 集合の円の図でイメージしてみると、
>>円の中に1、2、3、…と書かれていたものが、xを用いて表すとx一文字になります。
>>このイメージについてです。

なりません。xは同時に複数の数の代わりにはなりません。

>> A={1、2、3、…}において、x=1、2、3、…だから
>> A={x=1、x=2、x=3、…}

この{x=1、x=2、x=3、…}という表現はおそらく
{x(=1)、x(=2)、x(=3)、…}とか
{x=1が真の場合におけるx、x=2が真の場合におけるx、x=3が真の場合におけるx、…}
のニュアンスなんでしょうけど、異なる条件下におけるものをひとつの集合に入れるのは
無理がありますね。それ以前に{x=1、x=2、x=3、…}は一見して条件式そのものの集合に見えます。
ただ、{x=1、y=2、z=3、…}なら話は別ですが。

>> A={x、x、x、…}
>> 同じ要素があるのはおかしいので、xが一カ所に集まって
>> A={x}

ここの記述そのものは間違いではないですが、ご自身で「同じ要素」と書かれているように、
　　x=1が真のとき、代入すると{x,x,x,…}={1,1,1,…}
　　x=2が真のとき、代入すると{x,x,x,…}={2,2,2,…}
　　x=3が真のとき、代入すると{x,x,x,…}={3,3,3,…}
となるだけですので、残念ながら{1,2,3,…}を表していることにはなりません。

>> もしくは
>> A={1、2、3、…}において
>> x=1、2、3、…より
>> A={x}

「1、2、3、…」という（括弧で括らない）表現でもって、何かひとつの存在と考えておられるようですが、
このような存在は（明示的に定義しない限り）認められていません。
1,2,3,…がそれぞれひとつずつの「数」として独立に存在するか、
{1,2,3,…}というひとつの「集合」（≠数）として存在するかのどちらかです。
数の場合、xは常にどれかひとつの代わりにしかなりません。
集合の場合、集合のラベルとしてxを使うことは出来ます。しかしこれは数ではありません。

>> x一文字で全ての要素を表すときのイメージについて教えて下さい。

集合を表す図の中に要素としてxしか書いてないことはよくあると思いますが、
決して一文字で「同時に」すべての要素を表しているわけではありません。
　　x=1が真のとき、{x}という図は{x,2,3,…}の略記
　　x=2が真のとき、{x}という図は{1,x,3,…}の略記
　　x=3が真のとき、{x}という図は{1,2,x,…}の略記
を表しているものと、場合分けして捉えれば何も矛盾は生まれません。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#125931

「集合を表す円が点xに集まる」というよりは、変数xに異なる要素を代入するにつれて「点xが円の中を動く」というイメージを私は持っています。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

jmh

｛ｘ｜ｘ＞０、ｘは整数｝と｛ｙ｜ｙ＞０、ｙは整数｝は、同一の集合ですか？
図の場合はどうですか？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_u

> 集合の円の要素をx一文字で表してあるのを見て

その参考書が正確なものであると仮定すると、集合の要素としてまさに文字 x が含まれる状況を表現しています。
例えば不定元 x から成る多項式全体の集合 k[x] に対して、x はその元です。x^2 もその元です

一方、質問文に挙げられている A = {1, 2, 3, .. } は x を元として持ちません。
B = {x} とある場合、B はただ x という 1元のみを含む集合で A とは違います。

ではお休みなさい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

boiseweb

「x一文字で全ての要素を表す」などという発想は，何らの妥当性も認め得ない，まったく見当違いの考えです．そのような的外れな考えは，今すぐドブに捨ててください．

「A = { x | *** } と書くではないか，これは x が A の要素すべてを表すという意味ではないのか？」という（予想される）問いに対しては，私はすでに
http://okwave.jp/qa/q6408859.html
の #1 で答えています．これ以上，同語反復はしたくありません．

老婆心ながら忠告します．

数学的対象に対して，理解が不確かなまま，怪しげな想像だけをたくましくして，数学的にまったく通用しない的外れな考えを勝手に作り出してそれにしがみつくのは，やめてください．すでに作り出した勝手な想像は，それが数学的に通用しないとわかったら，潔く捨て去ってください．
まずは，教科書（図ではなく文章の部分）に書いてある「文字通りの事実」だけを冷静に受け止めて，正しく運用できるように鍛錬することにだけ努めてください．理解とかイメージとかは，その鍛錬の過程でおのずと培われるものです．

お礼

回答ありがとうございました。
申し訳ないです。

回答No.1

koko_u_u

> というイメージは大丈夫でしょうか?

まったく大丈夫ではありません。

イメージは A = {1, 2, 3, ... }、これだと誤解をまねくので A = {x| x > 0 かつ x は整数 } ということ。
ちょっと前から同じような質問を繰り返していますが、「x一文字で全ての要素を表す」で seikimatsu さんが何を求めているか、まったくわかりません。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

すみません。
参考書などで、集合の円の要素をx一文字で表してあるのを見て、前までは気にする事もなかったのですが、何故かきちんと捉えないと気がすまなくなりまして…。
式で表すなら、何も考えずにxを用いて表しますが、図でのイメージがなんかしづらいです。（図は単なるイメージの手助けであって、式の方が大事だという事ですが…。）

円の集合の図において、多くあった要素がどのようにx一文字になるのかを、ちょっと何故かイメージしづらいです。
一カ所に集まって、xになっただとか、それぞれの要素の横にイコールxがつき、要素は多くのxになり、結局はx一文字だけで表せる、とかいろんな考え方はあると思うのですが…。