図形の問題

質問

座標平面上に
円G X^2+Y^2-25+K(X^2+Y^2-24X-8Y+95)=0がある。
ただしKは実数。

X座標とY座標がともに整数である点を格子点という。K=3のとき、円の内部に含まれる格子点の数は?

K=3,0のときの円Gの中心をそれぞれC1,C2とする。円Gの中心が線分C1C2上をC1からC2まで動くとき、円の内部が通過する領域に含まれる格子点は全部でいくつか？

という問題です。
よろしくお願いします

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
一見、突拍子もないように見えますね。＾＾；
少し「ひねり」が必要なところもあるので、以下に。

・K=3のとき、円の内部に含まれる格子点の数は？
とりあえず、K＝ 3を代入します。
すると、半径が 5の円であることがわかります。
中心も格子点になっているので、内部に含まれる格子点の数は
中心が原点、半径が 5の円に含まれる格子点の数に等しいことがわかります。

式でいえば、
x^2+ y^2＜ 25を満たす整数(x, y)の組がいくつあるかを数えることになります。
（円の「内部」とあるので、周上の点は含まないとします。）

半径が 5なので、とり得る xの値は x＝ 0, ±1, ±2, ±3, ±4となります。
それぞれの場合で yがいくつあるかを数え上げれば、格子点の総数がわかりますね。

・。円Gの中心が線分C1C2上をC1からC2まで動くとき、円の内部が通過する領域に含まれる格子点は全部でいくつか？
K＝ 0と K＝ 3のとき、円Gがどうなるかはわかりますね。
ところで、円Gは Kの値に関わらず、ある 2つの定点を必ず通ります。

また、この 2つの定点を結んだ直線：Lと線分C1C2は直交しており、
円が通過した図形は直線：Lに線対称になっています。
さらに、線分C1C2に対してもこの図形は線対称になっています。

結果からいえば、0＜ k＜ 3のときの円は、
すべて K＝ 0と K＝ 3のときを重ね合わせた図形の内部に含まれています。
（添付の図を参考にしてください。）
ですので、数え上げる格子点の数は 1つ目の問いの 2倍になります。

お礼

回答ありがとうございました(^O^)