図形と平面の問題です。助けてください！

質問

座標平面上に円C：ｘ＾２+ｙ＾２-２ｘ=０がある。また、点（-１，０）を通り、傾きｍ
（ｍは実数の定数）の直線をｌとする。Cの中心をA、半径をｒとする。
Cとｌが異なる2点P,Qで交わるときｍの取りうる値の範囲を求めよ。
また三角形APQの面積が１/２であるようなｍの値を求めよ。

面積が１/２であるようなｍの値を求めよ。　の部分の解き方が分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いします!!

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

円C:x^2+y^2-2x=0から(x-1)^2+y^2=1だから円CはA(1,0)を中心とする
半径r=1の円。
直線l:点(-1,0)を通り、傾きmの直線はy=m(x+1)。
Cとｌが異なる2点P,Qで交わるのは、x^2+y^2-2x=0とy=m(x+1)を連立で
解いた解が異なる2個の実数解であるとき。
x^2+m^2(x+1)^2-2x=0、整理して(1+m^2)x^2+2(m^2-1)x+m^2=0
根の判別式=4(m^2-1)^2-4(1+m^2)m^2=-12m^2+4＞0をといて
1/3＞m^2、から-1/√3＜m＜1/√3有理化して-√3/3＜m＜√3/3・・・答
点(-1,0)を点Bとして△APQの面積=△ABQの面積-△ABPの面積
P、Qの座標を求めると、(1+m^2)x^2+2(m^2-1)x+m^2=0を解いて
x={-2(m^2-1)±√(-12m^2+4)}/{2(1+m^2)}
={1-m^2±√(-3m^2+1)}/(1+m^2)をα、β(α＜β)として
P=P(α,m(α+1))、Q=Q(β,m(β+1))。
△ABQの面積=(1/2)*2*m(β+1)=m(β+1)
△ABPの面積=(1/2)*2*m(α+1)=m(α+1)
よって△APQの面積=m(β+1)-m(α+1)=m(β-α)
α={1-m^2-√(-3m^2+1)}/(1+m^2)
β={1-m^2+√(-3m^2+1)}/(1+m^2)を代入すると
β-α=2√(-3m^2+1)}/(1+m^2)だから
△APQの面積=2m√(-3m^2+1)}/(1+m^2)、これが1/2だから
2m√(-3m^2+1)}/(1+m^2)=1/2、4m√(-3m^2+1)}=(1+m^2)、両辺二乗して
16m^2(-3m^2+1)=1+2m^2+m^4、整理して49m^4-14m^2+1=0
(7m^2-1)^2=0、m^2=1/7、m=±1/√7有理化してm=±√7/7・・・答

回答No.1

naniwacchi

まず、三角形APQの面積が 1/2であることから、線分PQの長さが決まってしまいます。
中心角がどうなるかを考えてみてください。

直線:Lが x軸の正の方向となす角をθとおくと、
・傾きに関する式(mとθの関係式)
・点(-1, 0)を点Bとすると、三角形BAPと三角形BAQに「共通の関係式」が得られます。
この関係式から、PQ＝ BQ- BPがθの式として求まります。(点Qの x座標＞点Pの x座標とします)

図を描いて、角度や辺の長さをひとつずつチェックしてみてください。