数II 図形

質問

数IIの問題です

座標平面上で不等式
ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３≦０
の現す領域をＤとする。Ｄは点Ｃ（□、□）を中心とする半径が□の円の周および内部である。

aは実数の定数とする。不等式
（ｘ－２a）＾２＋（ｙ－a）＾２≦９
の表す領域をＥとする。ＤがＥに含まれるようなaの値の範囲は
□≦a≦□/□
である。

円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝０とｘ軸の正の部分、ｙの正の部分との交点をそれぞれＡ、Ｂとする。
Ａ（√□、０）、Ｂ（０、□）
であり、線分ＡＢがＤを分けてできる２つの図形のうちＣを含まない方をＦとする。
Ｆの面積は□/□π－√□である。

点（ｘ、ｙ）が円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝０のＦを動くとする。このときｘ＾２＋ｙ＾２の
最大値は□、　最小値は□/□
である。

□に１文字入ります
できれば計算過程もお願いします
早めの回答希望します
よろしくお願いしますｍ(_ _)ｍ

回答No.2

info22_

座標平面上で不等式
ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３≦０
の現す領域をＤとする。

標準形に直すと
x^2+(y-1)^2≦2^2
となるから

Ｄは点Ｃ（0、1）を中心とする半径が2の円の周および内部である。

aは実数の定数とする。不等式
（ｘ－２a）＾２＋（ｙ－a）＾２≦９
の表す領域をＥとする。
この領域の円の半径は3で、中心P(2a,a)は直線y=x/2…（●） 上を動く。

ＤがＥに含まれるようなaの値の範囲は

中心C(0,1)と（●）の直線上の点P(2a,a)の距離が「3-2=1以下」であれば良いから
　(2a-0)^2+(a-1)^2≦1
これを解くと　
　5a^2-2a=a(5a-2)≦0　

∴0≦a≦2/5

である。

円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝０とｘ軸の正の部分、ｙの正の部分との交点をそれぞれＡ、Ｂとする。
Aは円の式でy＝0とおいてx>0の方を取ればx=√3となるから
Ａ（√3、０）、
Bは円の式でx=0とおいてy>0の方を取ればy=3となるから
Ｂ（０、3）

であり、線分ＡＢがＤを分けてできる２つの図形のうちＣを含まない方をＦとする。
底辺BC=2,高さOA=√3より △CABの面積=2*√3/2=√3
∠ACB=120°なので
Ｆの面積は
　F=扇型CABの面積-△CABの面積
=π(2^2)*120/360-√3
=(4/3)π-√3
である。

「点（x,y）が円x^2+y^2-2y-3=0のＦを動くとする。」…（＊）
この表現はおかしな表現である。
問題はこの表現が円周上の点が含まれるかである。問題文は不明確である。含まれなければ最大値が存在しなくなる。

　円の式を標準形に直すと x^2＋(y-1)^2=2^2
であるが、これは円x^2+y^2=2^2をy軸正方向に1だけ平行移動した円であるから円周上の点で原点から最も遠い点は点B（0,3)である。
この点Bが（＊）の点（x,y）に含まれるなら、点Bで最大値をとる。この点が含まれなければ最大値は存在しなくなり、点Bでの値は上限値（上界）となる。

含まれるとした場合は
点（x、y）の原点からの距離の自乗を表すｘ^2＋y^2は最大値をとる。F上の点で最も遠い点Bの座標を代入すると
x^2+y^2の最大値は
最大値＝ 0^2+3^2＝9
最大値は9
一方最小値は
原点を通る円が線分AB：y=3-(√3)x…(▲)と接する点Qの座標のときである。この点も境界線上にあるので、（＊）の点（x、y）に含まれるかが問題になる。含まれれば接点Qの座標点でx^2+y^2は　最小となる。含まれなければ最小値は存在しなくなり下限値となる。
接点Qが（＊）の点に含まれるとすれば
とりあえず接点Qの座標を求めると
　x^2+y^2=x^2+{3-(√3)x}^2=4x^2-6(√3)x+9
=4{x-3(√3)/4}^2 +(9/4)≧9/4
　最小値を取る時のxが点Qのx座標でx=(3/4)√3,y座標は（▲）より
　　y=3-(√3)(3/4)√3=3-(9/4)=3/4
つまり接点Q((3/4)√3,3/4)で
　最小値は9/4
である。

お礼

詳しい説明ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝ｘ＾２＋（ｙ－１）＾２－４＜＝０
ｘ＾２＋（ｙ－１）＾２＜＝４
これは（０，１）を中心とする半径２の円周、およびその内部です。

（ｘ－２ａ）＾２＋（ｙ－ａ）＾２＜＝９　は（２ａ、ａ）を中心とする半径３の円周およびその内部です。この領域が領域Ｄを含むには、二つの領域の中心、つまり（２ａ，ａ）と（０，１）の距離が１以下であればいいので、
（２ａ）＾２＋（ａ－１）＾２＜＝１
これを解いて下さい。

ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝０において、
ｘ＝０とおくとＢのｙ座標、ｙ＝０とおくとＡのｘ座標が出ます。
点Ａのｘ座標は√３なので、扇形ＣＡＢ（図形Ｆを含む方）の中心角は２π／３。これで扇形ＣＡＢの面積が判るので、そこから△ＣＡＢの面積を引けばＦの面積が出ます。

ｘ＾２＋ｙ＾２が最大値をとるのは、点（ｘ、ｙ）が円周上にあるときで、このとき
ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｙ－３＝０　より
ｘ＾２＋ｙ＾２＝２ｙ＋３なので、ｘ＾２＋ｙ＾２の最大値は２ｙ＋３の最大値と一致します。Ｆのｙの範囲は０＜＝ｙ＜＝３なので、２ｙ＋３の最大値は９になります。
ｘ＾２＋ｙ＾２が最小値を取るのは、点（ｘ、ｙ）が線分ＡＣ上にあるときです。線分ＡＣの式は
ｙ＝－√３ｘ／３＋１
ですから、これをｘ＾２＋ｙ＾２に代入するとｘの二次式になります。その最小値を求めて下さい。

お礼

早く回答してくださってありがとうございました。