定義域が制限された関数のクラス

質問

f が X⊆R^n から R への関数で、X上C^r 級であるとき、任意の A⊆X 上でC^r 級であって、したがって、f のAへの制限がC^r 級であるといえるのでしょうか。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「Cr級」を、正しく、
r階導関数が存在して連続であること
と理解すれば、A が開集合であれば
No.1 に書いたとおり。

ただし、文脈によっては、「Cr級」が、
r階導関数が存在して連続であり、かつ、
r+1階導関数は存在しないか連続ではないこと
という意味に誤用されることがある。
その意味では、定義域を制限すると
rがもとの関数より大きくなることもある。
(小さくることは無いが)

この誤用は、かなり数学に親しい人でもする
場合があるから、文脈を見て判断することが必要。

お礼

親切な回答をありがとうございました。

回答No.1

alice_44

さあ？ 質問が無意味っぽい。

C^r 級というのは、もとはと言えば局所で定義される概念であり、
f の定義域上の一点 p において C^r級 であるとかないとか言う。
そこから派生して、f が領域 X において C^r 級というのは、
X の任意の元 p に対して f が p において C^r 級であることを言う。
だから、f が X において C^r 級であれば、
X の部分集合 A において C^r 級であることは自明である。

しかし、「f の A への制限が C^r 級」というのは、真偽以前に
そういう言いかたが意味を持つのか否かが大いに疑問だ。
例えば、R^1 上の関数 f : x → e^x は C^∞ 級であるが、
f を A = { 0 } 上へ制限したモノが微分可能かどうかは、
どうやって語ればいいと言うのだろう。

補足

回答ありがとうございます。
Aを任意に取ったのが問題であって、A⊆X⊆R^n が R^n 上の空でない開集合であれば、意味を持つということでよろしいでしょうか。