流体力学について

質問

底の面積がaの円筒型のタンクの底に面積sの小さい穴が空いている。
このタンクに深さhの水が入っているとき、水が排水されるまでの時間は
T=a/s√(2h/g)であることを示す問題で

時刻tでの水深H
t=0でH=h
adh=-vsdtとして解こうとしたけれど
速度vが求まりませんでした
速度vの求め方と求める式を教えてください

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

ベルヌーイの定理を穴の箇所と水面に適用します。水の密度を ρ、穴から出る水の速さを v、重力加速度を g、大気圧を p0、水面の高さを H、時間に関する微分を添え字「'」で表すと、
(1/2) ρ v^2 + ρ g・0 + p0 = (1/2) ρ (H')^2 + ρ g H + p0。
これより
v^2 = (H')^2 + 2 g H。　　(1)

連続の式は
ρ s v = ρ a (-H')。
これより
v = (a/s)(-H')。　　(2)

s << a なので、(2)式より -H' << v。よって、(1)式で (H')^2 の項は v^2 の項に比べて無視できて、
v = (2 g H)^(1/2)。　　(3)
(3)式を(2)式へ代入して、
H' = -(s/a)(2 g H)^(1/2)。
これから
dH / H^(1/2) = -(s/a)(2 g)^(1/2) dt。
H = h → 0、t = 0 → T で積分すると
2h^(1/2) = (s/a)(2 g)^(1/2) T。
よって、
T = (a/s)(2 h/g)^(1/2)。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます

またよろしくおねがいします。