答えはあっているでしょうか？

質問

(1)を解いたのですが答えに自信がありません。
答えはあっていますか？

絶対値の記号がついていて、sinも入っているので（２）のやりかたがよくわかりません。
どう解いていけばいいでしょうか？

関数f(θ）＝∫０から１まで|x^2-sin^2θ|dx（θが０以上π/2以下）について
（１）f(0)およびf(π/2)を求めよ。
この答えが、f(0)=1/3,f(π/2)=-2/3になったのですが・・・

（２）0<θ<π/2のときf(θ)を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足について

>見直してみましたが計算の仕方から間違っているようです。
どこをどう見直したのでしょうか？
ちゃんと見なおしたならA#1の解答が分かるはずです。

>絶対値の中が正になるか負になるかで場合分けが必要だと思うのですが・・・
数式的には場合分けの根拠を書いて、積分区間で場合分けして、積分の和にして、絶対値をはずしてから積分するということをやっていますが、積分の計算式の変形をみて分かりませんか？
添付図のように、絶対値の関数の問題は図を描くとようにしてください。分かりやすいと同時に式の計算の間違いを無くすのに役立つと思います。

>そのあたりを詳しく教えていただけないでしょうか？

A#1の解答にはちゃんと理由をつけて場合分けして積分しているのが分かりませんか？
解答的にはこれ以上詳しくは書けないと思います。書けば蛇足ということです。
なので質問者さんが理解できるだけなのかもしれません。

解答的には書く必要のない蛇足です（解答でなく解説に過ぎません）があえて書けば

(1)のf(0)の積分では
被積分関数は
　|x^2-sin^2 0|=|x^2-0|=|x^2|
x^2≧0なので
　=x^2
と絶対値がはずれます。
つまり
f(0)=∫[0,1] x^2dx
という定積分になります。
つまり、
f(0)=[x^3/3](x=1)-[x^3/3](x=0)
=(1/3)-0 =1/3
となります。

f(π/2)の積分では
　|x^2-sin^2(π/2)|=|x^2-1|
積分範囲が0≦x≦1なので　0≦x^2≦1 つまり　-1≦x^2-1≦0　であるから
　=-(x^2-1)=1-x^2
と絶対値がはずれます。
つまり
f(π/2)=∫[0,1](1-x^2)dx
という定積分になります。
つまり、
f(π/2)=[x-x^3/3](x=1)-[x-x^3/3](x=0)
=1-(1/3)-0 =2/3
となります。

(2)については
>0<θ<π/2のとき 0<sinθ<1なので
0<sin^2θ<1
したがって
全積分区間0≦x≦1で絶対値内の符号が変わります。
なので積分区間を「被積分関数の絶対値の内部の符号により」分割して、分割した各積分範囲毎に積分をし、それらの積分の和を取ることで全区間の積分範囲 0≦x≦1の積分を得ることができます。

積分区間0≦x≦sinθでは　x^2≦sin^2θ　つまり　x^2-sin^2θ≦0 であるから
|x^2-sin^2θ|=-(x^2-sin^2θ)=sin^2θ-x^2

積分区間 sinθ≦x≦1では　sin^2θ≦x^2　つまり　x^2-sin^2θ≧0 であるから
|x^2-sin^2θ|=sin^2θ-x^2

したがって積分は、絶対値内の符号が正、負の範囲で積分を分割しその和をとって
>f(θ)=∫[0,sinθ] (sin^2θ-x^2)dx+∫[sinθ,1](x^2-sin^2θ)dx
となるわけです。絶対値内の符号が正、負によって被積分関数の関数の符号が反転しているのが分かるでしょう。添付図の黄色塗りつぶしの２つの部分の面積がそれぞれ積分の式の第一項と第二項になります。

積分の計算自体はA#1に書いた通りです。積分に関してはsinθは単なる定数と考えて積分します。
>=(2/3)sin^3θ+(2/3)sin^3θ-sin^2θ+(1/3)
>=(4/3)sin^3θ-sin^2θ+(1/3)

お礼

何度も回答してくださりありがとうございました。

もう一度丁寧にやり直してみます。

回答No.2

alice_44

この問題では、sin はコケオドシに過ぎません。
g(a) = ∫[0から1まで] |x^2 - a^2| dx と置いてみましょう。
0 ≦ a ≦ 1 の範囲だけ考えます。f(θ) = g(sin θ) です。

絶対値の定義より、
|x^2 - a^2| = x^2 - a^2　　(x^2 - a^2 ≧ 0 のとき)
|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2)　(x^2 - a^2 ＜ 0 のとき)　ですから、
0 ≦ a, x ≦ 1 の範囲では、
|x^2 - a^2| = x^2 - a^2　　(a ≦ x ≦ 1 のとき)
|x^2 - a^2| = -x^2 + a^2　(0 ≦ x ＜ a のとき)　となります。

積分区間を場合分けして積分すれば、
g(a) = ∫[0からaまで] (-x^2 + a^2) dx + ∫[aから1まで] (x^2 - a^2) dx
= { (-(a^3)/3 + (a^2)a) - (-(0^3)/3 + (a^2)0) } + { ((1^3)/3 - (a^2)1) - ((a^3)/3 - (a^2)a) }
= (4/3)a^3 + 1/3 - a^2　です。
これを使って…

(2)
f(θ) = g(sin θ) = (4/3)(sin θ)^3 + 1/3 - (sin θ)^2.

(1)
f(0) = g(0) = 1/3.
f(π/2) = g(1) = 4/3 + 1/3 - 1 = 2/3.

お礼

回答ありがとうございます。

sinの部分を置き換えるという考えがとくに参考になりました。

回答No.1

info22_

(1)
>この答えが、f(0)=1/3,f(π/2)=-2/3になったのですが・・・
f(0)=1/3　はあっています。
f(π/2)は間違っています。
被積分関数は|x^2-1|=1-x^2>0(∵0<=x<=1)なので積分は正になるはず。
f(π/2)=2/3 です。

(2)
0<θ<π/2のとき 0<sinθ<1なので
f(θ)=∫[0,sinθ] (sin^2θ-x^2)dx+∫[sinθ,1](x^2-sin^2θ)dx
=(2/3)sin^3θ+(2/3)sin^3θ-sin^2θ+(1/3)
=(4/3)sin^3θ-sin^2θ+(1/3)

お礼

回答ありがとうございます。
答えが正になるというのは見落としていました。

見直してみましたが計算の仕方から間違っているようです。
絶対値の中が正になるか負になるかで場合分けが必要だと思うのですが・・・

そのあたりを詳しく教えていただけないでしょうか？