定積分の問題の答えがあっているか教えてください

質問

以下の問題を解いてみましたが、あっているか自信がありません。
わかる方、ご指南おねがいします。

∫{0→1}x(x^2+1)^2 dx
F(x)=[(1/6)x^2(x^4+3x^2+3)]{0→1}
=[(1/6)*1*(1+3+3)]-[(1/6)*0*(0+0+3)]
=7/6

回答No.3

nious · ベストアンサー

#1です。

x^2+1=tと置いて、xについて微分すると、2x=dt/dxよりdx=dt/(2x)
dxはdtに置き換わりますが同時に分母にあるxが約分されて消え計算が楽に‥‥

お礼

重ね重ね、ご指南ありがとうございます。
考え方が理解できました。

回答No.2

oyaoya65

書き方がだめ。

>F(x)=[(1/6)x^2(x^4+3x^2+3)]{0→1}
この書き方は致命傷。
左辺がxの関数、右辺が定数となり、等号で結べない。

正解例）
∫{0→1}x(x^2+1)^2 dx
=∫{0→1} (x^5+2x^3+x) dx
=[(1/6)x^6+(1/2)x^4+(1/2)x^2)]{0→1}
=[(1/6)x^2(x^4+3x^2+3)]{0→1}
=[(1/6)*1*(1+3+3)]
=7/6

お礼

丁寧な回答、ありがとうございます。
等号で結んではいけなかったんですね。
基本的なミスを指摘していただき、ありがとうございました。

回答No.1

nious

x^2+1=tとおくと、
(1/2)∫[t=1～2]t^2 dt=(1/6)*[t^3]_{t=1～2}=(8-1)/6=7/6

補足

ご指摘、ありがとうございます。
x^2+1=tとおいた場合ですが、元も問題の∫{0→1}x(x^2+1)^2 dxの
先頭の「x」は消えてしまうのでしょうか？
初歩的な質問ですいませんが、回答のほどよろしくお願いします。