原始関数の問題ですが、解き方を教えてください。

質問

原始関数の問題ですが、解き方を教えてください。

以下の原始関数を求めよ。
（１）
∫(1/(x^3+1))dx

（２）
∫(1/√x^2+1)dx
↑正しい表記の仕方が分からなかったのですが、分母は √ 記号の中に x^2+1 があります。

どうかよろしく御願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)部分分数展開を使う

1/(x^3+1)=1/((x+1)(x^2-x+1))
=(1/3)/(x+1)-(1/3)(x-2)/(x^2-x+1)
={(1/3)/(x+1)}-{(1/6)(2x-1)/(x^2-x+1)}+(2/3)/{(1/3)(2x-1)^2+1}
∫1/(x^3+1)dx=(1/3)log|x+1|-(1/6)log(x^2-x+1)+(1/√3)tan^(-1){(2x-1)/√3}+C

(2)
積分は
sinh^(-1) x +C=log(x+√(x^2+1) +C
となります。

お礼

部分分数展開を用いるのですね。
どうもありがとうございました。

回答No.1

orcus0930

Wolfram Alphaで検索しましょう。
http://www.wolframalpha.com/
今回の場合は
(1) http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x^3%2B1%29
(2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2FSqrt[x^2%2B1]

お礼

このようなツールがあるのですね。
知りませんでした。とても参考になりました。
ありがとうございました。