積分の変形について
∫[0～π/4]x/(sin2x+2(cosx)^2) dx
=∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
= (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
+(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
= (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx …………(1)
+(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) (-dt)
（t=π/4-xとおいた）
= (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
+(1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx …………(2)
= (π/8)∫[0～π/4]1/(sin2x+cos2x+1) dx … (※)
= (π/8)[log(tanx+1)/2][0～π/4]
= πlog2/16
(1) から (2) の変形について教えてください。
t = π/4 - x とおけば
x = π/4-t
x = 0 → t = π/4, x = π/4 → t = 0.
dt = -dx
なので
(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
= -(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt
= (1/2)∫[0～π/4](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt
まではわかるのですが、これを x に戻すのであれば
-(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
になるのではないですか。
なぜ
(1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx
と変形できるのでしょうか。
