幾何のはめこみうめこみの問を教えてください。

質問

問　　　Rは実数　C₁とC₂は写像とする。
このとき、
C₁:R∍ｔ 　　→　　R^2∍（t＾2,t＾3）
は、はめ込みでないことを示せ。
また、
C₂:R∍ｔ 　　→　　R^2∍（t＾2,‐ｔ＋t＾3）
は、はめ込みであることを示せ。

という問です。
はめ込みは、多様体Mの任意の点ｐでの、写像ｆの微分が単射であることを示すのですが、具体的にどうすればいいかわかりません。ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
C1:R∋t→R^2∋(t^2,t^3)
dC0は0でのC1の微分
F0={h∈C∞(U)|Uは0の開近傍U⊂R}
G(0,0)={g∈C∞(V)|Vは(0,0)の開近傍V⊂R^2}
X1:F0→R
X2:F0→R
h∈F0
X1(h)=h'(0)
X2(h)=-h'(0)
T0(R)は0での接ベクトル空間
とすると
X1∈T0(R)
X2∈T0(R)
となる
h(t)=t
のとき
X1(h)=h'(0)=1
X2(h)=-h'(0)=-1
X1(h)≠X2(h)
だから
X1≠X2

任意の
g∈G(0,0)
に対して
dC0(X1)(g)=X1(g○C1)=(g○C1)'(0)={(g_x)(2t)+(g_y)(3t^2)}_{t=0}=0
dC0(X2)(g)=X2(g○C1)=-(g○C1)'(0)=-{(g_x)(2t)+(g_y)(3t^2)}_{t=0}=0
dC0(X1)(g)=dC0(X2)(g)=0
dC0(X1)=dC0(X2)=0
となるから
dC0は単射でないから
C1ははめ込みでない

(2)
C2:R∋t→R^2∋(t^2,-t+t^3)
dCtはtでのC2の微分
Tt(R)はtでの接ベクトル空間
{X1,X2}⊂Tt(R)
Ft={h∈C∞(U)|Uはtの開近傍U⊂R}
G(x,y)={g∈C∞(V)|Vは(x,y)の開近傍V⊂R^2}
X1:Ft→R
X2:Ft→R
dCt(X1)=dCt(X2)
とすると
X1(h)=ah'(t)となるa∈Rがある
X2(h)=bh'(t)となるb∈Rがある
任意の
g∈G(x,y)
に対して
dCt(X1)(g)=dCt(X2)(g)
dCt(X1)(g)=X1(g○C2)=a(g○C2)'(t)
=a(g_x)(2t)+a(g_y)(3t^2-1)
=dCt(X2)(g)=X2(g○C2)=b(g○C2)'(t)
=b(g_x)(2t)+b(g_y)(3t^2-1)
↓
(a-b){(g_x)(2t)+(g_y)(3t^2-1)}=0
g(x,y)=xのとき
g_x=1
g_y=0
(a-b)2t=0
g(x,y)=yのとき
g_x=0
g_y=1
(a-b)(3t^2-1)=0
↓
(a-b){(2t)^2+(3t^2-1)^2}=0
(2t)^2+(3t^2-1)^2≠0
だから
a=b
X1(h)=ah'(t)=bh'(t)=X2(h)
X1=X2
dCtは単射
∴
C2ははめ込みである