数学 微分 どなたか解答お願いします。

質問

f(x)=x^3-3x^2-6x+5 について
f'(x)=3(x^2-2x-2)である。

(1)f(x)をx^2-2x-2でわったときの商と余りを求めよ

A, 商　x-1 余り　-6x+3

(2)f(x)の極値を求めなさい

(2)がわかりません。

ヒントにはA=BQ+R使ってと書いてあるのですが・・・
x^2-2x-2が怪しいとわかってもわかりません。
微分積分は苦手です。

どなたか教えていただけないですか？

回答No.4

mercha120 · ベストアンサー

(2)の極値を求める問題ですが、

まずは極値をとるようなxを求めます。それは、
f'(x) = 0
を満たすxのことですね？すなわち
x^2 - 2x - 2 = 0
を解けばいいわけです。ここでその2解をa,b(a<b)とおいておきます。このとき、当然のことながら
a^2 - 2a - 2 = 0 (1)
b^2 - 2b - 2 = 0
は成り立っています。
(計算すると a = 1 - √(3) , b = 1 + √(3) となります)

つづいて、求める極値を考えます。極値とは
f(a) と f(b)
のことですね。したがって、代入したものがそのまま答えになるわけです。
f(a) = a^3 - 3a^2 - 6a + 5
f(b) = b^3 - 3b^2 - 6b + 5
これを力づくで計算しても、答えにはたどり着きますが、ヒント通り(1)の結果をありがたく使わせていただきましょう。

f(x)をx^2 - 2x - 2で割ったとき、商がx-1 , あまりが-6x+3 ですから
f(x)は次のように変形できます。
f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 2) -6x+3
aを代入して
f(a) = (a - 1)(a^2 - 2a -2) -6a + 3 (2)
ここで(1)と(2)を見比べて何か気づきませんか？

(1)より　a^2 - 2a - 2 = 0 だから
f(a) の計算は、実は
f(a) = - 6a + 3
だけでいいんです。これが簡単に解けるヒントだったんです。これなら計算ミスする心配もありませんよね？
したがって
f(a) = - 6*(1 - √(3)) + 3 = -3 + 6√(3)
ということになります。bも同様です。

回答No.5

alice_44

←(No.1 補足)

(2) への誘導として (1) が設けてある理由は、要するにその計算。
ヒントに A=BQ+R とあるのも、その話をしている。いいじゃん。

x^2-2x-2=0 を解いて f’(x)=0 となる x を具体的に求めてみると、
かなり香ばしい値が得られて、x^3-3x^2-6x+5 に代入するのはゲンナリする。
f’(x)=0 となる x に対しては f(x)=-6x+3 だということが知れていれば、
心が折れる前に値が求まる。ということ。

回答No.3

Tacosan

それはダメ. ちゃんと「実際に f(x) の極値を与える x の値」を代入してください.

回答No.2

Mr_Holland

＞(2)f(x)の極値を求めなさい
　極値では　f'(x)=0 でしたよね。
　f'(x)=0 となるxを求めて（2次方程式の解の公式）、 そのときのf(x)を求めて下さい。
　（f(x)を求めるとき設問(1)で求めた余りを使うと計算が楽になります。）

　そして増減表を書いて、求めた値が　極大値、極小値、いずれでもないのかを調べて下さい。
（3次関数の増減傾向から極大・極小を決めることもできますが、質問者さんの状況を察しますと　まずは増減表を書いて求めた方がいいでしょう。）

　以上の計算を進めてみて分からないところがありましたら、補足欄に書いて下さいね。

回答No.1

Tacosan

「f(x) の極値を与えるような x」が f'(x) とどのような関係にあるか考えろ, ってことかなぁ....

お礼

極値を与えるときの導関数f'(x)はx軸と平行なので
f'(x)=0、
このことからf'(x)=3(x^2-2x-2)=0より
x^2-2x-2=0

これをf(x)の式に代入して、
(x^2-2x-2)(x-1)-6x+3=f(x)
-6x+3=f(x)

といった感じで答えでました。

あってますか？！