微分の極値について

質問

教科書をみると。
関数f(x)画 x=aで極値をとれば　f´(a)=0
とあるのですが、何故、微分した関数の答えがゼロになるとその関数の極値になるのでしょうか、その理屈が理解できず困っています。是非、わかりやすくどなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

微分した関数の答えがゼロになるとその関数の極値になるのでしょうか

これは、誤解です。
y=x^3
のグラフは、x=0 のところで、
微分係数は０になりますが、
y=0 は、極大値でも極小値でもありません。

極値の時に、微分係数の値が０になります。
（関数に条件を付ける必要がありますがここでは省略します）
それは、
山の頂上では接線の傾きが０
谷底では接線の傾きが０
となっているので、極大値、極小値を
とるときには、微分係数は０になるのです。
微分係数は接線の傾きです。

お礼

こんなにすばやく、的確に答えてくだっさて、本当にありがとうございました。

回答No.2

First_Noel

微分とは，ある関数の増減の割合を求めることです．
微分や極値の定義を教科書でよくごらん下さい．

f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h
h->0

ですよね，右辺のlimの中は，直線の傾きを求める式ですよね，
これをh->0の極限で見た場合，ある関数の接線の傾きを表すことになります．

ある関数の増減０の点に接線を引けば，それはｘ軸に水平になります．
即ち，極値となる点です．

恐らくもうすぐるすると，微分の微分＝２階微分が出て来るでしょう，
それは微分の増減の割合を表します，その結果，元の関数が
どういう感じで増加しているか（上に凸か下に凸か）を判別出来ます．

数学は式だけ見るのではなく，図を描いて広い視野で眺め，
考えると理解しやすくなると思います．

お礼

確かに、高校の数学になると図を描いたりしないとわかりにくいものが多いのでこれからは図をなるべく書くようにしてみます。アドバイスありがとうございます。

回答No.1

kazu-gto

教科書に書いてあるかと思いますが…
極値というものは，接線の傾きがゼロになる値のことです．増加から減少する時の頂点，減少から増加するときの頂点です．

なので，
傾きゼロ
　-> 微分は曲線の傾きを求めている
　　 -> 微分して値をいれたらゼロになる．

お礼

前のお二方に続いて、こんなに早く質問に答えてくださって本当にありがとうございます。わからなかったこともよくかりました、質問してよかったです。