数学の微分の問題教えてください。

質問

問題

・水平な平面上に半径aの円があります。その円の中心の真上に１点の光源をおいて真下を照らします。光源をどの高さにおけば、円周が最もよく照らされますか？　ただし、平面上の点の照度は光の投射角θの余弦に比例し、光源からの距離の２乗に反比例するとします。

一応、ヒントがこれです。
求める高さをxと置きます。 ただし書きの箇所を式に直し、
xで微分して、微分学－28　の定理9.1（i）と（ii）とに従って
極値を判定し、照度が最も明るくなるxを求めて下さい

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

円周上の位置の照度Sは比例定数をkとおくと
投射角をθ、光源と円周間の距離をrとすると
次式で表せます。

S=k*cosθ/r^2
=k*(x/√(x^2+a^2))/(x^2+a^2)
=k*x/(x^2+a^2)^(3/2)
で表されます。

dS/dx=-(2x^2-a^2)/(x^2+a^2)^(5/2)

x=a/√2 のとき dS/dx=0
0≦x＜a/√2で dS/dx＞0
a/√2＜xで 　 dS/dx＜0

従って、x=a/√2のとき 円周上の照度Sは
　最大値Smax=(2√3)/(9a^2)
をとります。

参考までにS,dS/dxのグラフを添付します。

回答No.2

151A48

光の投射角θってよく分からないけど，cosθ=x/√(x^2 +a^2)　ということなのかな？
照度について書いてあることを式にすると

照度F(x)=K{x/√(x^2+a^2)}{1/(x^2+a^2)}=Kx/(x^2+a^2)^3/2
Kは比例定数。

でだめですか。

回答No.1

hashioogi

微分学－28　の定理9.1（i）と（ii）って何だろうか？