微分(数学II)

質問

aを定数として、xの3次関数
f(x)＝x＾3+3/2(a-2)x＾2-6axについて考える。

f(x)が極値をもたないのは、a＝アイのときである。
a≠アイのとき
f(x)が正の極大値と負の極小値をもつ必要十分条件は
a＜ウエ、オカ/キ＜a＜ク、ク＜aのときである。

という問題です。

f'(x)＝3(x-2)(x+a)だから、a＝－2のときf'(x)＝3(x-2)＾2≧0となり、極値をもたない。

f'(x)＝3(x-2)(x+a)より、f'(x)＝0と解くとx＝2,-a
題意を満たす条件は2つの極値、f(2),f(-a)の積が負になることである。

f(2)＝-6a-4
f(-a)＝(1/2)a＾3+3a＾2

より、(-6a-4)*{(1/2)a＾3+3a＾2}＜0
-12a＾4-72a＾3-8a＾3-48a＾2＜0
-12a＾4-80a＾3-48a＾2＜0
3a＾4+20a＾3+12a＾2＞0
a＾2(3a＾2+20a+12)＞0
a＾2(3a+2)(a+6)＞0

ここで、行き詰まりました。a＾2で両辺を割ろうとしましたが、a＝0かもしれないので、出来ませんでした。

どなたか教えて下さい。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> a＾2(3a+2)(a+6)＞0
>
> ここで、行き詰まりました。a＾2で両辺を割ろうとしましたが、a＝0かもしれないので、出来ませんでした。

こういう『できない場合がある』時にこそ場合分けを使います。
a＾2(3a+2)(a+6)＞0
a = 0の時、
a＾2(3a+2)(a+6) = 0
よってa = 0の時、a＾2(3a+2)(a+6)＞0は成り立たない。
なのでaは0ではありません。

なので安心してa＾2(3a+2)(a+6)＞0の両辺をa^2で割れます。

お礼

回答ありがとうございます。
場合分けという基本的なことを見落としてました。

回答No.2

debut

a＾2(3a+2)(a+6)＞0
a=0のとき左辺＝０となるので成り立たない、と調べれば、条件a≠0が
わかって、両辺をa^2で割ることができます。
そして、２次不等式を解いて、その解の中にa≠0であることを加えれば
よいですね。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。