ランダウの解析力学P24

質問

Mz=∂L/∂φドット
となるのは角運動量保存則の導き方の特質から明らかだとありますが、どういう解釈を行えば明らかなのかわかりません。
P=∂L/∂qドット
に似ているのはわかりますが、これも空間の一様性とラグランジュ方程式から式をいじくってでてきたという認識であり、直接的な直感的解釈に到っていません。

どなたか吟味して日本語にしてもらえないでしょうか。
下手な質問で申し訳ありません。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

実質、数式を使ったのと同じですが、日本語になるように少しやってみました。自分もランダウの力学は持ってます。

まず言い訳：
　ランダウという人は、定性論（直感的解釈？）まで数式で語る人です。そのために物理的議論と数学的議論を融通無碍に往復し、読んでる方としては、そこで戸惑います。行間を読まないと「何が何だかわからない」という羽目になる気がします。

ドットで微分したら、何故運動量？：
　根っこは、ラグランジュ方程式と思います。ラグランジュ方程式は、任意の座標変換で不変なので、デカルト座標でドットの微分が運動量なら、その座標でのドットの微分は、その座標での運動量。ここまでは数学の話で、運動量はいくらでも自由に選べる。

　だからラグラジアンを表す座標系として、どの座標系を選ぶかが物理の話。慣性法則から、デカルト座標と極座標が特に重要そう。何故なら慣性系にいると、空間は等方一様に見えるから。そのような時に限って、物理法則は正しい形で成り立つから。よって身のある（？）運動量は、いわゆる線運動量と角運動量。

運動量保存則：
　ラグラジアンは系の全てを持っている。何故なら、各瞬間の速度と位置を全て与えれば、運動は一意に定まるから。なので、ラグラジアンさえ見ていれば、系の性質は全てわかるはずだ。

　粒子間の相対位置ベクトルで定まる保存力ポテンシャルしか考えないのが、純粋な古典力学。ラグラジアンがこの形をしていると、∂L/∂xの項が全て打ち消しあうという作用・反作用の法則が成り立ち、当然運動量保存則も出てくる。ここまでは物理。

　ところで、∂L/∂xの項が全て打ち消しあうラグラジアンとは、系の並進移動に関して不変なラグラジアン。ここからは数学。系の並進移動に関して不変なラグラジアンは、∂L/∂xの項が全て打ち消しあうラグラジアンになるので、運動量保存則成立。よって並進不変なラグラジアン ⇔ 運動量保存則。

　再び物理に戻り、並進でラグラジアンが、つまり系が不変とは、空間が一様である事を示している、と考えられる。ランダウは首尾一貫して、このような見方をします（たぶん相対論を意識して）。

　というわけで、空間の一様性 ⇔ 並進不変なラグラジアン ⇔ 運動量保存則。

　以上が、自分なりの行間読みです。角運動量と空間の等方性，エネルギーと時間の一様性も、同じ感じだと思います。

お礼

よくわかりました！ありがとうございました

回答No.4

agoraphobi

一般化運動量ｐ＝∂L／∂q・＝一定　　　
なのはそれに共役な一般化座標 q を変化させても系のラグランジアン L が不変のとき．

というのは§7の結論です．ここまでは数学の定理と思えばいい．

まず q が線形座標（デカルト座標）の場合，p は線形運動量であって，
最も簡単な例は，1次元自由粒子の運動です；q ・= v と書けば，自由粒子のラグランジアンは，
L = (1/2)mv^2
なので，
p = ∂L／∂q・＝ mv = 一定
というのは，粒子が運動しても（q が変化しても），運動量は変わらない，
という直観的に明らかなことをいっている．これが，(7.5)式が正しいことの基本的なチェックになります．
このように，単純で自明な例で具体的に計算してみて，経験的に正しい結果がちゃんと得られるということをその式が「直観的に明らか」であると私は判断します．（メタな問題ですが）

つぎに， q が曲線座標の場合，p を曲線運動量とでもいいましょうか．
最も簡単な例は，2次元平面上の中心力場中の粒子で，ラグランジンアは，
L = (1/2)m( r φ・)^2
なので，角度φ に共役な運動量（角運動量）
M = ∂L/∂φ・ = mr (rφ・)＝ 一定
は，粒子が回転運動しても（φ が変化しても），角運動量は変わらない，
ということであり，これが経験的にわかっていれば，直観的に明らかである，といえるのではないでしょうか？

空間の等方性とかにはあまり気にしすぎない方がいいと思いますよ．ちょっとかっこいい言い方ってだけで．

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

yurih

逆にそれが運動量や角運動量の定義であると考えてみると
良いと思います。

それでニュートン力学における運動量や角運動量に一致していることは
直接計算によって確かめられます。

Mz=∂L/∂φドットとなるのは、ランダウ力学の角運動量保存のページ
(P22かな？)に書いてあるδφ（ベクトル）が、z軸を向いていると考えれば、
δφ・M=(δφのｚ成分)・Mz になると思うのですが・・・。

あ、そこと∂L/∂φドットがつながらないなら、ネーターの定理で
検索してみてください。ラグランジアンの不変性と∂L/∂φドット等の
保存則の関係がすぐわかると思います。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

yokkun831

「直感的な解釈」を求められると弱いですが…

ここでの意味は，単にラグランジュ方程式の形から「明らか」といっているのではないでしょうか？

和を省略し，一般的な記法にならいます。

δL = p'・(δφ×r) + p・(δφ×v)
= δφ・(r×p') + δφ・(v×p)
= δφ・d/dt(r×p)

∴∂L/∂φ = dM/dt
ラグランジュ方程式から右辺はd/dt(∂L/∂φ')に等しい。
すなわち，M = ∂L/∂φ'
つまり，一般化座標をφに選ぶとき，一般化運動量がMにあたる。

質問の意図にそえていないかもしれませんが，ご勘弁ください。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
そうですね。どうやらそのようですが…＾＾；

ところで、

“空間の一様性,等方性”と“ラグランジアンを速度で微分したものが保存する”ことの関係を本質的に（≒数式を使わず）理解する術はないのでしょうか。