固有振動数 二重振り子

質問

ラグランジュを使って二重振り子の固有振動数を求めたいです。
運動方程式をつくることは出来ました。
しかし、ここからどうやって固有振動数を求めていいのかがわかりません。
1つ目の振り子が長さｌ１重さｍ１角度シータ１
２つめの振り子が長さｌ２重さｍ２角度シータ２で
微小なゆれなので

（ｍ１＋ｍ２）ｌ１シータ１（ドット２つ）＋ｍ２ｌ２シータ２ドット＝ー（ｍ１＋ｍ２）ｇシータ１
ｌ２シータ２（ドット２つ）＋ｌ１シータ１（ドット２つ）＝ーｇシータ２

ググルと色々出てくるのですが、
運動方程式→ω＝
みたいにすぐ出ているので、ωを出す過程がわかりません。

１つだけ次の振動数方程式を解く、と
（ｍ１＋ｍ２）（ーω＾２ｌ１＋ｇ）（ーω＾２ｌ２＋ｇ）ーω＾４ｍ２ｌ１ｌ２＝０
という式が乗っていたのですが、

何でこれをとくのかがさっぱりです。
これは他のでは使えませんよね？？
万能な振動数方程式というのは存在するのですか？
あと超初歩ですが
シータ（ドット）＝ω
シータ（ドット２つ）＝ωドット＝角加速度
だと思っているのですが、振動数方程式には角加速度は出てきません。どうしたらいいのでしょうか？

色々質問がありますが、解く過程が知りたいです。
詳しくお願いします！！！！

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>何でこれをとくのかがさっぱりです。

とりあえずこの部分のみ。

固有振動数とは，系全体（今回の場合２つの質点）が同一の振動数で振動する状態（規準振動＝モード）の振動数をさします。したがって，
θ1 = Acosωt
θ2 = Bcosωt
とでもおいて，２つの運動方程式に代入します。すると，振幅AとBの方程式が２つできるわけですが，これら２つの方程式によって得られる振幅比B/Aが同じである必要があります。B/Aが両式で同じになる条件をつくると，ω^2に関する２次方程式が得られるのです。この解が規準振動の角振動数となり，あらためてA，Bの方程式に代入すると，振動数が小さい方がB/A>0で同じ方向への変位，振動数が大きい方がB/A<0で逆方向の変位となります。

以上の手順を，No.1さんがおっしゃるようにθ1とθ2の適当な１次結合に関する単振動としてみつけることもできるということです（結果的に必要な計算は同じです）。

系の任意の微小振動は，２つの固有振動数をもつ振動の重ね合わせになるのです。

参考として，等質量，等長の２重振子の規準振動の動画を添付します。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/354.html

お礼

すごく参考になりました。

URL、動画も付けてくださりありがとうございました

回答No.4

noname#221368

＞ググルと色々出てくるのですが、運動方程式→ω＝
みたいにすぐ出ているので、ωを出す過程がわかりません。

　固有振動解析は、語弊を恐れずに言えば、フーリエ分解です。どんな複雑な振動だって、ＡcosωtとＢsinωtの足し算で表せる、というのが基本的な発想です。特に線形系の場合、ＡcosωtとＢsinωtも、もとの運動方程式を満たすという、都合の良い状況になっています。

　そこで皆さんの仰るように、とりあえずx(t)＝Ａcosωtなどと「おいてみて」、運動方程式に代入します。線形振動の場合、運動方程式は大抵、

　　Ｍx(ツードット)＋Ｋx＝0

の形をしてますが、これにx＝Ａcosωtを代入すると、単純な微分計算で、

　　(ω^2×Ｍ－Ｋ)Ａ＝0

が得られます。Ａ≠0なので（Ａ＝0だったら、計算する必要すらない）、固有振動方程式（振動数方程式）として、

　　det(Ｋ－ω^2×Ｍ)＝0　　(1)

が得られます。

　冒頭の理由から、(1)を満たす全てのωを求めれば、系の任意の振動を分解する単振動の角速度が得られるはずだ、となります。万能の振動数方程式はありませんが、以上の「やり方」は、線形系に限れば万能です。

　あんまり悩まないで下さい^^。

お礼

運動方程式を使う方法もあるのですね。

今回はラグランジュでやりたかったのですが、
知識が広がりました。

ありがとうございました

回答No.3

yokkun831

書き忘れたことをひとつ。

私の勘違いでなければいいんですが，θ' = ω　ではありませんよ。これを混同するとめちゃくちゃなことになります。
θ1，θ2自体が振動する，その角振動数がωということですね？
角振動数というのは，単振動を等速円運動の「影」と見た場合の角速度のことで，振子そのものの角速度とは全く異なるものですから，ご注意ください。

お礼

あっ、勘違いではありません。

θ' = ωだと思い込んでみました。
説明もわかりやすかったです。
２回も回答いただきありがとうございます！！

回答No.1

Tacosan

θ1 と θ2 の適当な線形結合を使って連立方程式をばらす?
（ｍ１＋ｍ２）ｌ１シータ１（ドット２つ）＋ｍ２ｌ２シータ２ドット＝ー（ｍ１＋ｍ２）ｇシータ１
は間違ってるけどね.

お礼

打ち間違えです。
ありがとうございました