解の安定性を調べる

質問

ドットをダッシュ(')で表しています。
以下の問題で分からないところがあります。

(問) 2次元平面において、質量mの質点がポテンシャルU(r)=-(a/r)-(c/r^3) の中を運動している。ここでrは原点からの距離、aとcは正の定数である。
質点が半径一定(r=ro , θ=一定)をする場合を考える。このような定常解が存在するとき、その定常円運動の安定性をすべての解に対して調べなさい。

とりあえず、ラグランジュの運動方程式を用いると
mr"=mrθ'^2 -(a/r^2)-(3c/r^4)
(d/dt)(mr^2θ')=0
で、角運動量が保存されていることが分かります。

ヒントとして、r=ro + ε (ε：微小量) とおいてそれを運動方程式に代入しε、ε'、ε"の一次の項までのこしてεのふるまいを調べるとありますが、はっきりいってちんぷんかんぷんです。(そもそもε'は出てこないのでは？)
いったい何をすればいいのか、道筋だけでも教えていただければ助かります。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

しばらくこういう問題を扱ってないので、一般論しか言えませんが。

　まず定常解とは何でしょう？。それは解軌道が時間的に変化しない事です（だと思いますが）。時間が経っても解軌道は変化しないので、それは安定したものに見えます。しかしこれは、数学の世界においてだけです。実際の物理現象では定常解に対して、外乱や揺れが常に作用します。

　では、数学的には時間変化しない定常軌道の安定性、とは何でしょう？。

　それは、（何らかの原因で）roからの少々のずれεが生じても、十分時間が経てばε(t)は0に収束する、という事ですよね？。もしくはroのまわりの微小振動にしかならないか。

　逆に不安定とは、微小でもずれεが生じようものなら最後、最初は微小でもε(t)はどんどん拡大する、という事ですよね？。

　つまり安定性の解析とは具体的には、運動ε(t)の運動方程式を検討せよ、という事になります。運動方程式なんだから、ε'(t)やε"(t)は、当然計算する事になりますよね？。よって、ε(t)の運動方程式を導けば良い訳です。

　こういうのを摂動法とは言わないかも知れませんが、基本は同じです。

　　1)系の基本である最初の運動方程式から、定常解の運動方程式を導く（ここは、たいてい簡単）．

　　2)ずれεが生じた後でも、系の基本である最初の運動方程式は満たすはずなので、
　　　そこにr＝ro＋εを代入し、roとεに関して項別に整理する（かなり大変）．

　　3)理想的に上手く行けば、1)を2)に持ち込む事によって、roに関する項は全て消去され、
　　　ε(t)の運動方程式が得られる（でも、上手く行くとは限らない）．

　理想的に上手く行かせる常套手段の一つが、ε(t)は「ず～っと微小だと仮定」して線形化し、ε、ε'、ε"の一次の項まで残して検討する事です。得られたε(t)の運動方程式の解が、「ず～っと微小」でなければ、もちろんこの方法はアウト！ですが、それはやってみるまで、結果はわからない(^^；)。

　それでもアウト！だった場合は、「ず～っと微小と仮定しても駄目でした」とは言える。よって不安定。駄目じゃない場合は、予想通りでした、・・・となる(^^)。

お礼

なるほど。おおまかな全体像はなんとかつかめそうです。
あとは自分でどう処理していくかが問題ですね・・・
ありがとうございました。