2変数の合成関数の微分について

質問

先日テストが行われまして、自己採点をしたいのですが、
ｚ＝ｅ^(3x-2y)，ｘ＝ｕ^(2)+ｖ^(2)，ｙ＝ｕｖによって合成関数ｚ＝ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））を定義したとする。
ｚｕ，ｚｖを、2変数の合成関数の微分公式を用いて計算せよ。

の答えはzu=(6u-2v)e^(3u^(2)+3v^(2)-2uv)とzv=(6v-2u)e^(3u^(2)+3v^(2)-2uv)
で正解でしょうか。
間違いならば、解答をお願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

ｚ=e^(3x-2y)=e^(3x)*e^(-2y)
ｘ=u^2 +v^2,ｙ=uv

z_u=∂(e^(3x))/∂u*e^(-2y)+e^(3x)*∂(e^(-2y))/∂u
=d(e^(3x))/dx*∂x/∂u*e^(-2y)
+e^(3x)*d(e^(-2y))/dy*∂y/∂u
=3e^(3x)*2u*e^(-2y)+e^(3x)*(-2)e^(-2y)*e^(-2y)*v
=(6u-2v)e^(3x-2y)
=(6u-2v)e^(3u^2 +3v^2 -2uv)

z_v=∂(e^(3x))/∂v*e^(-2y)+e^(3x)*∂(e^(-2y))/∂v
=d(e^(3x))/dx*∂x/∂v*e^(-2y)
+e^(3x)*d(e^(-2y))/dy*∂y/∂v
=3e^(3x)*(2v)*e^(-2y)+e^(3x)*(-2)*e^(-2y)*u
=(6v-2u)e^(3x-2y)
=(6v-2u)e^(3u^2 +3v^2 -2uv)

正解です。