カテナリー曲線についての質問です。

質問

カテナリー曲線についての質問です。
方程式から4点を通るカテナリー曲線を知りたいと思っています。点（-1200,0）（-200,-400）（200,-400）（1200,0）　y=a cosh(x/a)のaの値を知りたいです。
違う点にも応用したいので、計算過程も教えていただければ幸いです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y=a cosh(x/a)はy軸対称のグラフなので偶関数ですから、4点を通るといっても、実質上x>0の領域の2点を通れば必要十分です。
また、4点の配置から中央が下に凸になっているので　a>0でなくてはならない。
a>0なのでy=a cosh(x/a)>0
ところが 通過する4点のy座標は０か負なのでこのままではaの値は存在しない。
曲線の形状がカテナリー曲線であれば良いということなら

曲線の式を
y=a cosh(x/a)-b (a>0,b>0)　…(1)
とおけばよい。
つまり、カテナリー曲線をｙ軸方向に下にbだけ平行移動した関数を使えばよい。

(1)にx>0の2点（200,-400）,（1200,0）を通るようにa,bを定めればよい。
2点を代入して a,bの連立方程式が得られる。
b=a cosh(1200/a)…(2)
b=a cosh(200/a)+400…(3)
この連立方程式をa>0,b>0の条件で解析的に解くことは困難なので、数値計算法で解いてみた。a≒1816.3792,b≒2227.40123

解き方は(2),(3)からbを消去して、aについての方程式をニュートン・ラプソン法でaの数値解を求め、それを(2)式に代入してbを求めれば良い。

お礼

迅速で丁寧な対応ありがとうございます。欲しかったグラフを書く事が出来ました。
とても感謝しています。