「a,bを定数とする。0以外のすべての実数を定義域

質問

「a,bを定数とする。0以外のすべての実数を定義域とする関数y＝x＋a/x＋bがy≦1,y≧5を値域とするとき、a,bの値を求めよ。」という問題の解答で、

与式の両辺にxをかけて分母を払い、
x＾2＋(b－y)x＋a=0
実数条件より、判別式≧0
よってy＾2－2by＋b＾2－4a≧0 …(1)
y≦1,y≧5より
(y－1)(y－5)≧0
y＾2－6y＋5≧0…(2)
不等号の向きが同じで、(1)と(2)が一致するから
2b=6, b＾2－4a=5
よってa=1,b=3

というのがありました。
1. どうして(1)と(2)が一致するのでしょうか？
与式の値域だからですか？
だとしてもいまいちピンとこないのですが…
2. 「不等号の向きが同じで」とありますが、
向きが違った場合はこれが成り立たないのですか？
それとも、符号を変える等の過程が必要になるのでしょうか？
3. そもそも、実数条件を用いるとなぜ a,bの値が求められるのでしょうか？
(微分をして求める方法があることはわかっています。)

これらのことについて、わかる方いたら解説をお願いしたいです。全部でなくても構いませんので、よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
与式の値域だからと言ってもいいよ。
実数条件というのはxが実数になる条件であって，それに伴ってyの範囲も決まります。それはとりもなおさず値域と言うことです。
(2)
関数y＝x＋a/x＋bの値域がy≦1,y≧5だったら，不等号の向きは同じにしかなりません。
向きが違ったら矛盾していることになります。
(3)
どんな求め方をしてもいいけど，たまたまそういうやり方を選んだだけです。わかっている条件を式にすれば，いろいろなことが明らかになると言うだけのことです。

お礼

なるほど、よくわかりました！全ての疑問に丁寧に答えていただき、ありがとうございました。