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全称命題の定義を∧,∨,￢とで記述する事は可能?
P⇒Q の定義は(￢P)∨Qの事ですよね。 全称命題 ∀x∈A,B(x)「∀x∈Aに対してB(x)である」 の定義を ∧,∨,￢とで記述する事は可能なのでしょうか? x∈A⇒B(x) の事ではないですよね。 何故なら A∩Bの定義を{x; X∈{A,B}⇒x∈X}だとすると (X∈{A,B})が偽で(x∈X)が真の時、(X∈{A,B}⇒x∈X)は真となりますから、 X≠A∧X≠B であるような集合Xの元がA∩Bの元だと言えてしまいますよね。
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ANo.4への補足に対して。 正確には「無限集合上への拡張」というより「任意領域で定義」ということです。具体的には ∧{x}P(x)、∨{x}P(x) と書いた場合に全ての領域のxに渡るP(x)のand,orとみなすわけです。 これは実質的には初めから∧,∨に∀,∃の意味を持たせてしまっておくことになります。 # ネット上のテキストでは記述できないが本当は{x}は∧,∨の下にxを書く 一方で普通に使っている記法では Ｐ∧Ｑ、Ｐ∨Ｑ をそれぞれＰ and Ｑ、Ｐ or Ｑと解釈します。 この場合は有限集合上のand,orは列挙することで記述できますが、無限集合上のand,orは別の記号を用意しないと記述できません。
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- rinkun
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ANo.1です。 「x∈A∧B(x)がxについて恒真(真定数値関数)である」ということ自体が「全てのxについてx∈A∧B(x)」すなわち「∀x∈A,B(x)」を言っていると思います。 > 今、∧,∨,￢と真と偽だけが許されているのですよね。 この条件なら恒真をそれらだけで記述できなければいけないのですが、これはAが無限集合である場合には∧,∨自体を無限集合上に拡張してないとできません。 ANo.2へのお礼の記述ですが > Aとしてφ(空集合)をとると > とすると > ∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ）は偽ですが これは真です。Ａが空集合なら任意のＢ（ｘ）について「∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ）」は真です。 実のところ「∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ）」は「∀ｘ（ｘ∈Ａ⇒Ｂ（ｘ））」の省略形に過ぎません。限量記号を使った記述の一般形は「∀ｘＰ（ｘ）」ようにｘを特定の集合に制限しません。
お礼
有難うございます。 >Ａが空集合なら任意のＢ（ｘ）について > 「∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ）」は真です。 「ｘ∈Ａ⇒Ｂ（ｘ）」が真なので、 「∀ｘ（ｘ∈Ａ⇒Ｂ（ｘ））」は真でした。 失礼致しました。
補足
> これはAが無限集合である場合には∧,∨自体を > 無限集合上に拡張してないとできません。 現段階ではまだ無限云々を語りようがないと思うのですが (論理的な話をした後に集合とか一体一対応とか後継者写像とかの概念が必要でそしてようやく無限とは…という運びになると思うのですが) どうやって拡張するのでしょうか?
#1 さんがおっしゃるように、領域(domain)が有限の場合、∀xP(x)は全称記号を使わずに連言のみで表現できます。 「量化」が導入された理由を ∀xP(x) を P(x1)∧P(x2)∧P(x3)∧… と書くしかないと、パルプとインクの無駄づかいになるから、だと思ってました。
お礼
ご回答ありがとうございます。 あれから色々と考えてみました。 今、∧,∨,￢と真と偽だけが許されているのですよね。 B(x)は命題関数と言い、命題P,Q(真か偽か決定している)とは異なってxに値によって真や偽を採る。然し、B(x)を「x=x」とする命題関数だと真と決定しているし、「x≠x」だとすると偽だと決定している。 このような命題関数を定数値命題関数と呼ぶ事にする。 で、 ∀x∈A,B(x)の定義は「x∈A∧B(x)」という命題関数が真の定数値命題関数となる時、真、定数値命題関数とならない時、偽と定義する。 と考えたのですが、このような定義は間違ってますでしょうか?
補足
すいません。よく分かりません。 ∀は「全ての」を意味するとどの書籍にも書いてあると思いますが そこでの「全ての」は飽くまで有限上での話しなのですね? 無限集合なるものが出てきた時に改めて∀の意味を拡張してあげないといけないという事ですかね?
- quantum2000
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ご質問の終わりの部分（何故なら・・・）の内容がよく分からないのですが， 前半について述べると・・・ Ｐ ⇒ Ｑ の定義(?)を， （￢Ｐ）∨ Ｑ とすると， 全称命題 ∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ） 「ｘ∈Ａ である全てのｘに対して，Ｂ（ｘ） である」 については， ｘ∈Ａ ⇒ Ｂ（ｘ） と表されるから， （￢（ｘ∈Ａ））∨ Ｂ（ｘ） と定義(?)される！？ つまり，全称命題が∧,∨,￢とで記述できた！？？ なお，最後の部分について述べると， 「・・・となりますから， Ｘ≠Ａ ∧ Ｘ≠Ｂ であるような集合Ｘの元が，Ａ∩Ｂ の元だと言えてしまいますよね．」 とありますが，これが言えても何の問題もないと思うのです． つまり， 「Ｘ≠Ａ ∧ Ｘ≠Ｂ」 ということと， 「ｘ ∈ Ａ∩Ｂ でない」 ということは， ほとんど全く関連がないと思います．
お礼
ご回答有難うございます。 > ∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ） > 「ｘ∈Ａ である全てのｘに対して，Ｂ（ｘ） である」 > については， > ｘ∈Ａ ⇒ Ｂ（ｘ） と表されるから， とは表せないと思います。 Aとしてφ(空集合)をとると とすると ∀ｘ∈Ａ，Ｂ（ｘ）は偽ですが ｘ∈Ａ ⇒ Ｂ（ｘ）は真ですよね? (勘違いしておりますでしょうか?)
- rinkun
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∧や∨が2個(有限個)の命題に対するand/orであれば無理。 ∧や∨を無限領域に拡大して定義していれば、 ∀x∈A,B(x)は、B(x)の全てのx∈Aに渡る∧であるし、 ∃x∈A,B(x)は、B(x)の全てのx∈Aに渡る∨である。
お礼
ご回答ありがとうございます。 あれから色々と考えてみました。 今、∧,∨,￢と真と偽だけが許されているのですよね。 B(x)は命題関数と言い、命題P,Q(真か偽か決定している)とは異なってxに値によって真や偽を採る。然し、B(x)を「x=x」とする命題関数だと真と決定しているし、「x≠x」だとすると偽だと決定している。 このような命題関数を定数値命題関数と呼ぶ事にする。 で、 ∀x∈A,B(x)の定義は「x∈A∧B(x)」という命題関数が真の定数値命題関数となる時、真、定数値命題関数とならない時、偽と定義する。 と考えたのですが、このような定義は間違ってますでしょうか?
お礼
ご回答誠にありがとうございます。 「全ての(任意の)」という言葉は何気なく使っておりまして今回厳密に「全ての(任意の)」とはどういう意味なのだろうと気になって投稿いたしました。 有限・無限の概念以前に 原始人といえども"特定"と"全部"との区別ぐらいは理解できるので「全ての」とはどういう意味かという質問は愚問になってしまうのですね。 > この場合は有限集合上のand,orは列挙することで記述できますが、 有限の場合でも一般の場合だと無限の時と同様に「…」という表記を用いざる得ませんよね(結局は)。 P1∧P2∧…∧Pn みたいに。