分かる限りで構わないのでお願いします。
分かる限りで構わないのでお願いします。
ハミルトニアン
H=(p^2/2m)+{(m・ω^2・x^2)/2}
で記述される１次元調和振動子を考える。ここで、座標x^,運動量p^は正準交換関係[x^,p^]=ihを満たすエルミート演算子であるとする。
a^={√(mω/2h)}・{x^+(ip^/mω)}とおくと
[a^,a^’]=1, H^=hω(N^+(1/2)), (N^=a^’a^), [N^,a^]=-a^, [N^,a^’]=a^’,
が成立する。これらの公式を用いて以下の問に回答して下さい。
(a^,x^,p^はそれぞれの文字の上に^があるイメージで。a^’はa^の右上に+があるイメージで。)
(1)任意の状態ベクトル |Ψ〉に対し、〈Ψ|Ψ〉≧0である事実を用いて、エルミート演算子N^の固有値が、非負の整数値となることを示して下さい。また、状態 |0〉を、
a^|0〉=0, 〈0|0〉=1
を満たすものと定義するとき、Nの固有値nの固有状態が |n〉:=N_n(a^’)^n|0〉と表されることを示して下さい。さらにエネルギー固有値も求めて下さい。
(2)(1)の固有状態 |n〉を 〈n|n〉=1と規格化するとき、規格化因子N_nを決定して下さい。
(3)公式〈x|x^|Ψ〉=x〈x|Ψ〉, 〈x|p^|Ψ〉=-ih・∂/∂x〈x|Ψ〉、などを用いて波動関数φ_n(x)≡〈ｘ|n〉を求めて下さい。
（ヒント：exp(ε^2/2)・exp(-ε/2)=d/dε-εを利用）
(4)規格化された固有状態|n〉に対する演算子x,pの行列要素
〈m|x^|n〉, 〈m|p^|n〉を計算して下さい。
（ヒント：まずa^,a^’の行列要素を求め、次にx^,p^がa^,a^’を用いてどのよに書けるか考える。）
お礼
ありがとうございました。