数学の問題です。

質問

数学の問題です。

ｚ＝2-i-1-(√3)i

を極形式に変えるにはどうすればいいのでしょうか。

（√２）＋１＋i を極形式にするのは図を考えて出来たのですが、

これと方法と同じでいいと思うのですが、上の問題は
上手くいきません。教えてください。

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

ANo.1です。

> （√２）＋１＋i の場合は座標平面上に直角三角形を書いて、図形的に偏角を求めました。

2-i-1-(√3)iの偏角を求める所でつまづいたのでしょうか。
結論から言うと、今回は偏角の具体的な値を求める事はできないと思います。
偏角は常に簡単な角度(15°、22.5°、30°、45°等)になるとは限りません。
どう工夫しても偏角の具体的な値が求まらない場合があります。

偏角の具体的な値が求まらない場合、
次の2通りの方法のどちらかを使って偏角を表記します。

(方法1) 偏角を適当な文字式(例えばφ)で表す
この時φが一意に定まるように、
解答に「φの条件」や「φの三角関数値」をいくつか添える必要があります。
高校数学ではこの方法を使う事があります(例えば数2「三角関数の合成」の問題)。

(方法2) 偏角を逆三角関数を用いて表す
逆三角関数は「三角関数値から角度を計算する関数」です。
なので逆三角関数を角度として扱うことができます。
今回の問題の場合、偏角が作るtan値が
(1+√3)/1 = 1 + √3となる事が分かっています。
この場合、ANo.3の方の回答のように
偏角をtan^-1(1+√3)またはarctan(1+√3)と表記するだけでOKです
(これ以上簡単に偏角を表す事はできません)。

今後はこのような「逆三角関数を使った角度表記」を
普通に使うことになると思います。
なので今のうちから慣れておくと良いかも知れません。

お礼

納得できました。ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#2です。

補足です。
今の場合
>ｚ＝2-i-1-(√3)i
> ＝1-(1+√3)i
>　＝a-bi(a>0,b>0)
>　＝r e^(-iθ)　
>（極形式、r>0,θ＝0～2π　または　-π～π）

θは
π/2＜θ＜π/3
なので
θ＝tan^-1(1+√3)

z＝r e^(-iθ)
＝√(5+2√3) e^(-i tan^-1(1+√3))
（極座標形式）
になります。

お礼

分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

info22_

ｚ＝2-i-1-(√3)i
＝1-(1+√3)i
　＝a-bi
　＝r e^(-iθ)　（極形式、r>0,θ＝0～2π　または　-π～π）
とおけば
a＝1,b＝(1+√3)
なので
以下の関係式で計算すればいいです。
r＝√(a^2+b^2)＝√(5+2√3)

tanθ＝b/a＝1+√3
cosθ＝a/r ,sinθ＝b/r

回答No.1

R_Earl

> （√２）＋１＋i を極形式にするのは図を考えて出来たのですが、
>
> これと方法と同じでいいと思うのですが、上の問題は
> 上手くいきません。教えてください

(√2) + 1 + iはどうやって極形式にしたのでしょうか。
2 - i - 1 - (√3)iはどうやって極形式にしようとして、
どこで上手くいかないと感じたのでしょうか。
それを書いていただかないと、適切なアドバイスは難しいです。

(√2) + 1 + iが極形式にできるのであれば、
2 - i - 1 - (√3)iも同様の方法で処理できると思います。

2 - i - 1 - (√3)i
= 2 - 1 - i - (√3)i
= 1 - (1 + √3)i

なので、実部1, 虚部- (1 + √3)iの複素数を
複素平面上で考えれば良いと思うのですが…。

補足

（√２）＋１＋i の場合は座標平面上に直角三角形を書いて、図形的に偏角を求めました。