中1数学の問題

質問

どなたかこの問題の論理的な解き方を教えてください。(中学1年生の数学の問題です。)

下の図の三角すいでは、各辺の上の3つの数の和がいつも等しい。-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5の中から10個の数を使って、1辺の和がすべて等しくなるように○を求めなさい。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.4です。この解(正負を逆転したものも合わせて基本的には４通り)の他に解がないことの数直線を使った説明です。
（厳密な証明ではありません。またここでは◯の中に正の数を入れる場合を考えています。)

No.4の解で示したように「◯の中に入れることができる４つの数は、その中から２つずつを選んで加えた６つの数がすべて異なるようになる４つの数の組み合わせ」でなくてはなりませんが、連続する４つの数(例えば1,2,3,4）はこの条件を満たさず、(1,2,3,5)や(1,3,4,5)は満たしますので、「◯の中に入れることができる４つの数」の最大の数と最小の数の差は４以上です。…条件（１）

この「２つずつを選んで加えたすべて異なる６つの数」については、(Ａ)連続する６つの数の場合と、(Ｂ)連続しない６つの数の場合の２通りがあります。

上で挙げた(1,2,3,5)や(1,3,4,5)を用いた場合は、(Ａ)連続する６つの数の場合で、その最大の数と最小の数の差は５です。差が５ある連続する６つの数に◇の数を加えて和を同じ数にするので、◇の中に入れることができる６つの数も連続する６つの数で、その最大の数と最小の数の差も５です。…条件（２）

さらに、同じ数は1度しか使えないため、◇の中の数の最大値と◯の中の数の最小値の間は1以上です。条件（３）

-５から5までの範囲で重複せずにこれらの条件（１）（２）（３）をすべて満たすには、添付した数直線の図から明らかなように、◯の中に入れる数は1,2,3,4,5の５つの数の中から４つの数を選び、-5,-4,-3,-2,-1,0を◇に入れるほかなく、これがNo.4の解です。

次に（Ｂ)の連続しない６つの数の場合の解の有無を調べます。

1,2,3,4,5の５つの数から４つの数を選ぶ組み合わせは(1,2,3,4)(1,2,4,5)(2,3,4,5)(1,2,3,5)(1,3,4,5)の5通りですが、このうちの初めの３つの組み合わせはこの中から選んだ２つの数の和が相異なる６つの数という条件を満たさず、後の２つの組み合わせでは連続する６つの数になります。

したがって、連続しない６つの数を生じさせる組み合わせを作るには、０以下の数も使うほかなく、例えば(0,1,3,5)ならば、(1,3,4,5,6,8)ができます。この場合、◯の中に入れる４つの数の最大の数と最小の数の差は５以上になります。…条件（４）

またこのとき、連続しない６つの数なので、その最大の数と最小の数の差は６以上あるため(上の例では差は７あります）、この６つの数に加えて同じ数にするには◇の中に入れることができる６つの数の最大の数と最小の数の差も６以上です。…条件（５）

-５から５までの範囲で、重複を許さずに条件（４）（５）をともに満たすことは不可能です。よってこの場合には解がありません。

以上のことから、No.4の解以外には解がないことがわかります。

お礼

ありがとうございます！
大変勉強になりました！

回答No.4

staratras

この問題は、ある程度論理的に求めることができて、試行錯誤の範囲を減らすことができます。
ただし、以下の回答はある解を見つけるための方法で、これ以外に解がないかどうかは吟味していません。

添付した図の左側は三角すいを上から見た図で◯が各頂点、◇が各辺の中点です。
ここで三角すいの各辺の数字の合計はすべて◯＋◇＋◯です。
つまり、４つの◯の中から２つずつを選んだ数字の合計にすべて異なる◇を加えたものです。

このため、◯の中に入れることができる４つの数は、その中から２つずつを選んで加えた６つの数がすべて異なるようになる４つの数の組み合わせでなくてはならないことがわかります。

なぜなら、例えば1,2,3,4を選んだとすると、1+4=2+3=5 なので1-◇-4の辺と2-◇-3の辺の合計の数を同じにするには、◇に同じ数字を入れなければなりませんが、使える数字に同じもの２つはありません。

また、◯+◯の合計は６通りなので、合計の最小の数と最大の数は少なくとも６離れています。このため「ある正の数」から始まって1つずつ合計の数が増えていくような組み合わせを作ることができれば、対応する◇に0,-1,-2,-3,-4,-5を入れて、合計をすべてその「ある正の数」(同じ数）にできて題意を満たすことができると考えられます。

そこで正の５つの数1,2,3,4,5の中から、２つずつを選んで加えた６つの数がすべて異なるようになる４つの数の組み合わせを考えると、(1,2,3,5)または(1,3,4,5)です。この中から２つずつを選んで加えた合計は、前者では(3,4,5,6,7,8)、後者では(4,5,6,7,8,9)です。

これにそれぞれ(0,-1,-2,-3,-4,-5)を加えれば、合計はそれぞれ前者ではすべて3、後者ではすべて4になり題意を満たします。添付した図の右側は後者の場合です。

なおこの回答の10の数の正と負をすべてそっくり逆にした組み合わせも、もちろん題意を満たす組み合わせになります。

お礼

ありがとうございます！
大変勉強になりました！

回答No.3

alice_44

ノーヒントで？　それは、辛い。

(辺上の３数の定和)×６＝(４頂点の数の和)×３＋(６辺の数の和)
↑[1] が成り立つことから、

(４頂点の数の和)が偶数で
(６辺の数の和)は６で割りきれるか、

(４頂点の数の和)が奇数で
(６辺の数の和)を６で割ると３余るか、

のどっちかであることが判る。
そこから、６辺の数 の組み合わせが絞り込める。←[2]

６辺の数の組み合わせ をどれかに仮定すると、
残り５数のうちどの４個を頂点に使うかが
４頂点の数の和 の偶奇で決まるから、
式[1] によって 辺上の３数の定和 が判る。

あとは、４頂点の各ペアに挟まれた辺に対して、
辺上の３数の定和 が上記のものになるように
辺の○が埋められるかどうかをチェックすればいい。

[2] の組み合わせは、４頂点の数をテキトーに決める10C4通り
よりは、だいぶ少ないけれど、それでもまだ沢山あるなあ…

お礼

ありがとうございます！
大変勉強になりました！

回答No.2

Tacosan

頂点の位置に入る数値を念力で決める.

回答No.1

おみみ こみみ（@dreamhope-ok）

下の図の三角すい

が見当たらないです。

補足

三角すいの各頂点と辺の中点に○があると考えてご回答いただけますか？