※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような）
キリの良い有理数を求める方法
このQ&Aのポイント
任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qはa^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて表せることがわかりました。
求められたp,qは一般には整数ではないですがm=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/cが成り立ちます。
キリの悪い有理数をよりキリの良い有理数に変換するためには、x,yが与えられたときに適切なa,bを選ぶ必要があります。全ての組み合わせで可能かはわかりませんが、可能な組み合わせが存在する場合、どのようにしてa,bを選ぶかが問題です。
任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような
任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://okwave.jp/qa/q6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。
これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。
このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると思います。
全てのx,yの組み合わせでは不可能かもしれませんが
可能な組み合わせだった場合、x,yが与えられたときに
a,bをどのようにして選べば良いのでしょうか?
※ここで“キリの悪い有理数”とは、
有理数を互いに素な整数を用いた分数で表したときに
素因数が分母にたくさん含まれている数を指すこととします。
“よりキリの良い有理数”とは同様に分母に含まれる
素因数の種類が“キリの悪い有理数”より少ないものとします。
