熱力学(サイクルの熱効率)について

質問

熱力学(サイクルの熱効率)について
初歩的な問題かもしれませんが答えと解き方を詳しく教えてください。
「図に示すような、比熱一定の理想気体により作動するサイクルがある。(過程は全て可逆、比熱比は1.4とする。)
1→2→3→4→1のサイクルは1→2が等容変化、2→3は等温変化、3→4が等容変化、4→1が等温変化である。
点1の温度T1を400K、点2の温度T2を3000Kとするとき、サイクル1→2→3→4→1の熱効率を求めよ。」

よろしくお願いします。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

１→２　等積加熱　Ｑ１＝Ｃｖ(Ｔ２－Ｔ１)
２→３　等温膨張　Ｑ２＝∫ＰｄＶ＝∫ＲＴｄＶ／Ｖ＝ＲＴ２ｌｎ(Ｖ３／Ｖ２)
３→４　等積冷却　Ｑ３＝Ｃｖ(Ｔ１－Ｔ２)＝－Ｑ１
４→１　等温圧縮　Ｑ４＝∫ＲＴｄＶ／Ｖ＝ＲＴ１ｌｎ(Ｖ１／Ｖ４)＝－ＲＴ１ｌｎ(Ｖ３／Ｖ２)

Ｑ＝Ｑ１＋Ｑ２＋Ｑ３＋Ｑ４＝Ｒ(Ｔ２－Ｔ１)ｌｎ(Ｖ３／Ｖ２)
これはそのまま外部にした仕事に等しいです。

効率は　系に入ってきた熱量に対する仕事の割合です。
η＝Ｗ／（Ｑ１＋Ｑ２）
（私としては効率はこの式になると考えています。２つの温度だけの簡単な表現にはなりません。）

本によっては
η＝Ｗ／Ｑ２＝１－Ｔ１／Ｔ２
としているようです。（横田伊佐秋「熱力学」（岩波書店）ｐ６１）
この場合はカルノーサイクルと同じになります。
「Ｑ１はＱ３と打ち消すので考える必要はない」と書いてありますが「？」です。
（ご質問の問題も２つの温度しか与えられていませんのでこの式を使うという前提のようです。）

「このサイクルには仕事をしない熱の出入りが余分にあるのでカルノーサイクルよりも効率は下がる」と考えていいのではないでしょうか。
カルノーサイクルは等積変化の部分が断熱変化になっています。

Ｑ１を考えていないのは「２つの熱源の間で働く可逆サイクルの効率は等しい」という「カルノーの定理」に当てはめようとしての結果ではないでしょうか。
でもこのサイクルは「２つの熱源の間で働く熱機関」ではありません。「４つの熱源」が存在しています。
温度一定の熱源が２つ、温度が変化する熱源が２つです。

オットーサイクルの場合の効率は２つの温度で決まります。でもこの２つの温度はサイクルの中に出てくる最高温度と最低温度ではありません。断熱変化の両端温度です。効率がカルノーサイクルの効率とは異なる可逆サイクルは色々あるようです。

お礼

詳しく丁寧なご回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。