再度の質問です

質問

再度の質問です
自然数a,bでa>b,素数p,dでp>2のとき、a^p-b^p=d
であるならば、dを2pで割った余りが1であることを示せ。

因数分解をして、
(a-b){a^(p-1)+a^(p-2)*b+....+b^(p-1)}=d
dが素数より、a-b=1となる。
ここまでは、前回の質問からわかりました。
ここから、1つの方法としてやったのは、
a^p-b^p=a^p-(a-1)^pとして、(a-1)^pを２項定理で展開してみる。
やってみましたが、2pで割れるということを導き出せませんでした。
また、もう一つは、前回の質問の回答にあったように、
(a-b)^p=pC0a^p+pC1a^(p-1)*b+・・・+pCp(-b)^pより
a^p-b^p=(a-b)^p-{pC1a^(p-1)*b+・・+pC(p-1)a}
とできる。ここで、(a-b)^pは１だから、{pC1a^(p-1)*b+・・+pC(p-1)a}は
2pで割れなければならない。ここまでは考えましたが、2pで割れることを導き出せませんでした。
よろしくおねがいします。

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

＞pでくくれることが、よくわかりません。
＞各項をpでくくったとき、各項がなぜ分数にならないのか？
具体的に、pＣkを書き下してみると、
pＣk＝ p(p-1)(p-2)・・・(p-k){ p-(k-1) }÷{ k(k-1)(k-2)・・・2*1 }

となります。
まず、pは素数で p＞ kですから、分子の pが約分されることはありません。

次に、この数全体が分数にならないことですが、p-1から p-(k-1)までは k個の数が掛けられています。
ということは、この中に必ず kの倍数が含まれていることになります。
以下、同様に k-1の倍数も k-2の倍数も含まれていることとなって、結果分数とはならない（自然数になる）ことが言えます。
この議論は、一般の nＣrについて言えることになりますね。

＞もし、この２つの・がわかったとしても、{}が2pで割れると結論づけられるのか？
p* a* bがくくり出されるので、pの倍数 かつ 2の倍数（偶数）であることが結論づけられます。
そして、上の内容から、くくり出した後の {　}の中は自然数の和となっています。

お礼

回答ありがとうございます。
疑問に思っていた２つの・について
理解できました。
p-1から p-(k-1)までは k個の数が掛けられています。
ということは、この中に必ず kの倍数が含まれていることになります
このことが参考になりました。
２つ目の・については、勘違いしていました。
a^p-b^pを２で割った余り、ｐで割った余りの積が、２ｐで割った余りに
等しいと思っていて、{}は２ｐで割れることは理解できました。

回答No.5

alice_44

いきなり 2p で割ろうとしないで、
・ d を p で割った余りが 1
・ d を 2 で割った余りが 1
・ p と 2 は互いに素
から、d を 2p で割った余りは 1
と結論するのが楽かと思います。

p で割った余りは、質問文中の二つの方法
どちらでも、容易に示せます。

2 で割った余りは、a-b=1 より、
a と b の偶奇が異なるから、
p 乗の偶奇も異なる。
よって、d は奇数です。

お礼

回答ありがとうございます。
２で割ったあまり、ｐで割ったあまり
で考えることも、頭をよぎったのですが、
２ｐで割ったあまりとどうつながるのか
分からなかったので、２ｐで割ることに
こだわってしまいました。

回答No.4

mister_moonlight

質問者の、これ↓が失礼だと言うのか？

http://okwave.jp/qa/q6218492.html

回答に対しては礼を言ってるんだし、構わないんじゃないの。
点数なんか、どうでもいいだろう。それとも、点数なんかはどうでも良くないの？

質問者は回答に納得してないから、再度質問したんだろし、従って閉鎖してないんだろう。
それに、あのまま質問を継続しても、下に行ってしまい、回答が面倒になる。
俺なんか、1度書き込んで、それが1面から消えてしまったら、自分が書き込んだ回答も見ないよ。
書き込みがあれば、上に上がってくるシステムなら良いんだろうが。
それなら、今後は納得してなければ、礼は言って閉鎖すればいいんだろう、

察するに、みんな真面目なんだね。。。。。。ｗ

お礼

勉強不足や理解不足で、回答者の皆さんには
ご迷惑をかけています。今後ともよろしくお願いします

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

ざっくりと考えた方がわかりやすいような・・・

ちなみに、{　}の中の式が間違っていますね。
{　}
＝ pＣ1*a^(p-1)*b+ ・・・+ pＣ(p-1)*a*b^(p-1)
＝ Σ[k=1～p-1] pＣk* a^(p-k)* b^k

さて、もともとの条件を整理しておきましょう。
・「pは素数 かつ p＞ 2である。」ということは、pは素数である前に、○数である。
そして、上記Σ内の各項から pがくくりだせる。となりますね。

・「a, bは自然数であり、a- b＝ 1である。」
つまり、aと bは隣り合った自然数ですよね。
隣り合っていれば、どちらか一方は必ず△数ですよね。
{　}から a* bがくくり出せれば、もうひとつの条件もクリアです。

最後に、#2さんが言われている
＞あと, 「前回の質問」を放置するのはよくないね. ちゃんとけりをつけること.
これは、質問をオープンにしたまま、別で質問するのは重複投稿にもなりかねませんよ。
そして回答してくれた方にも失礼になりますよ。
（自分で書くのは恥ずかしいですし、なんとも思ってはいませんが ＾＾；）
という意味でもあると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
最初の・について、
pは奇数。
pでくくれることが、よくわかりません。
各項をpでくくったとき、各項がなぜ分数にならないのか？
次の・について
a*bは偶数。
そして、a*bでくくれるから、{}は２の倍数がわかりました。
もし、この２つの・がわかったとしても、{}が2pで割れると
結論づけられるのか？
２つの？が残りました。

回答No.2

Tacosan

なぜ
「{}の２項目 (3項目か?) で[p(p-1)(p-2)/3!]*a^(p-3)*(-b)^3 が2pで割れることは、簡単にはわからないように思」った
のでしょうか? 「p は素数」という条件をどこで使うのか, 考えてみてください.
あと, 「前回の質問」を放置するのはよくないね. ちゃんとけりをつけること. それが「前回の質問」に対して答えてくれた人への, 最低限の義理ってもんだ.

お礼

回答ありがとうございます。
[p(p-1)(p-2)/3!]*a^(p-3)*(-b)^3 の例でいくと、
[~]の中の計算でpが残ればいいのかと思いましたが、
もしも、p=3だったら、pが残らないのか？と思い、
よくわからなくなりました。
前回の回答について、それぞれ自分なりに考えて「お礼」にも、考えたことを
載させてもらいました。それをうけて再度質問させてもらいました。

回答No.1

Tacosan

本質的にはどちらも同じですね. 前者は個人的には (b+1)^p - b^p としたいところだけど.
いずれにしても, 「p が素数」という条件を使えば簡単ですよ. 後者はよく見れば「{～} のすべての項が 2p の倍数」であることが分かります. 前者は pCk b^k + pC(p-k)b^(p-k) をまとめて考える.
フェルマーの定理を使っていいなら a-b = 1 から別の方法もある.

お礼

回答ありがとうございます。
すべての項が2pの倍数だと私も思ったのですが、
例えば、{}の２項目で[p(p-1)(p-2)/3!]*a^(p-3)*(-b)^3
が2pで割れることは、簡単にはわからないように思いました。
同様に、３項以降も大変なのかと思いました。