数学の質問。

質問

X^3－27
は、どうやって因数分解するのですか。
答え、解説には、「解の公式に当てはめ・・・」などしか書いていないんです。
それと、（2a＋b＋c）^2はどうやって展開するのですか。
これも、公式に当てはめ・・・とだけ。

追伸　教えてgooを管理する人へ　
（これは問題の丸投げではありません。過去問題をやった上で、分からなかった部分だけを質問しています。削除しないでください。前回削除された質問と同じ部分もありますが、質問を二つ減らしました。それは、その二つをなんとか自分で考え、答えを見つけたからです。次は機械的に削除されないことを願われたし。）

回答No.7

pyon1956 · ベストアンサー

＞X^3－27÷X－3＝X^2＋9、X＝±√3になってしまいました

割算の意味を間違えているのかな？
(X^3－27)÷(X－3)を計算すべきなのに、(X^3÷X)+{(-9)÷(-3)}を計算していては答が合いません。
この点については整式の割算をもう一度最初から勉強し直された方がよいでしょう。（あなたが高校2年の数学を勉強している場合）
ちなみにX^2+9が出てきても、普通そこから出てくるのは√3ではなく、(√3)iです。

ただしこれらの解説は高校２年相当の数学です。だから因数分解覚えたての高１相当の数学をやっているとすれば以上の解説は不適当でしょう。（お話からするとそうではないかと推測します）

しかし、X^3-27の因数分解は高校1年で出てきます。

というのは高校１年で#3さんの仰った「公式」を習うので、その練習としてこのあたりをやるからです。

公式を使わずに、ですか？それはほとんど無意味でしょう。公式を導くのと同じことをやるだけですから。
とはいえ、一応やってみると、

高校１年の因数分解の前に、3乗関係の「式の展開」で覚えているのは(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3のはずなので、これを変形します。
27=3^3だから、元の式に「近い」ものとして(x-3)^3を求めると、
(x-3)^3＝x^3-9x^2+27x-27
そこで移項して
(x-3)^3+(9x^2-27x)=x^3-27
左辺＝(x-3)^3+9x(x-3)＝(x-3)[(x-3)^2)+9x}=(x-3)(x^2+3x+9)

回答No.10

tarame

No.3,No.9 の tarame です。
３乗の公式を使わない。割り算は不安がある。
だったら、こんなやり方はどうでしょうか？
ｘ^3－27＝ｘ^3－３^3　から「x－3」に注目して
＝ｘ^3－3x^2＋3x^2－27
＝x^2(x－3)＋3x^2－9x＋9x－27
＝x^2(x－3)+3x(x－3)＋9(x－3)
＝(x－3)(x^2＋3x＋9)

回答No.9

tarame

No.3です。
ｘ^3－27 の27に注目します。27は ３^3 なので
ｘ＝Ａ＋３とおくことで　(Ａ＋３)^3の定数項の27が出てきて消去できます。
あとは、Ａで括って……です。

回答No.8

kaaakaaa

ANo.4の者です。
ごめんなさい。入力してからしっかり確認すれば良かった・・・
(X^3-27)÷(X-3)=X^2+3X-27
ではなく、
(X^3-27)÷(X-3)=X^2+3X+9
でした。失礼しました

回答No.6

noname#43438

すいません、Ｎｏ．５間違い。
ｙ＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄ
のグラフで、ｙ＝０となるｘの値で、
ｙ＝ａ（ｘ＋ｘ１）（ｘ＋ｘ２）（ｘ＋ｘ３）
となります。
たとえば、ｙ＝ｘ＾２＋１は、ｙ＝０とならないので、
上記のように（　）に出来ない。
この辺、どこまで返答していいのか分からないけど、
数学では、複素数を使って、（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ）というのがありますが。

回答No.5

noname#43438

下記にもありますが、公式を覚えてましたね。
これくらいの式なら、自力で出来ないこともないですけど。
ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄ（３次までにしときますが）
あ、出来るかと思いましたが、３次以上だと、出来ないですね。
複素数なら出来たか？

あと、質問は、因数分解の逆。

回答No.4

kaaakaaa

Y=X^3-27とおきます。
仮にY=0の時、X^3-27=0　⇔　X^3=27 ∴ X=3
ということから　YはX-3を因数にもつことが分かります。
故に、Y=(X-3)×○　（○も因数）で表せるわけです。
X^3-27をX-3で割ると、
(X^3-27)÷(X-3)=X^2+3X-27
となり、因数であるX^2+3X-27が求められるので、
X^3-27=(X-3)(X^2+3X-27)
と因数分解できます。
今回はX^3-27と比較的簡単な式でしたが、
まだまだ複雑な式を因数分解しなければならない問題は
いくらでも出てくると思います。
簡単に求められる因数を探し出して、与式をその因数で割る
というのは慣れてしまえば簡単な方法なので、
良ければこの際練習してみてください。
当たり前の話ですが、「因数」に「分解」するから「因数分解」なのですから

お礼

＞X^3-27をX-3で割ると、
(X^3-27)÷(X-3)=X^2+3X-27
となり、因数であるX^2+3X-27が求められるので、
X^3-27=(X-3)(X^2+3X-27)
と因数分解できます。

X^3-27をX-3で割ると、
(X^3-27)÷(X-3)=X^2+3X-27になるのですか？
自分は計算したら、X^3－27÷X－3＝X^2＋9、X＝±√3になってしまいました。なんでだ！？

しかも問題集に書いてある答えは、(X-3)(X^2+3X-27)ではなく、(X-3)(X^2+3X＋9)とあります。

めんどくせー。捨てても良いかな・・
ごめんなさい、馬鹿で。

回答No.3

tarame

ｘ^3－27
公式を使わずに解く方法ですか？ないことはないですが
ｘ＝Ａ＋3 とおいてみてください。
ｘ^3－27＝(Ａ＋3)^3－27＝Ａ^3＋9Ａ^2＋27Ａ
これは、因数分解できますね。あとは、Ａ＝ｘ-3 を戻しておしまいです。

でも、公式を覚えてしまうことをお勧めします。

お礼

ｘ＝Ａ＋3
のＡ＋3はどこから導いたのですか。

回答No.2

info22

＞X^3－27
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
の公式で a=X, b=3
としてみてください。

＞（2a＋b＋c）^2
={2a+(b+c)}^2
(b+c)を一塊として展開してみてください。
=(2a)^2 +2(2a)(b+c)+(b+c)^2
=4a^2 +4a(b+c) +(b^2+2bc+c^2)
=4a^2 +4ab +4ac +b^2 +2bc +c^2

お礼

公式を使わずには解けないのでしょうか？

（2a＋b＋c）^2は、おかげさまで解くことができました！
ありがとうございました！！

回答No.1

Cupper

x^3-27
これは、x^3 に注目
3乗ですね。
では
27
これは？
そう、何かの数値の3乗ですよね。

(2a+b+c)^2
これは、公式云々ではなく
(2a+b+c)×(2a+b+c)
として考えてください。

以上ヒントです。
ここから考えることで自身で考える力が付きます。
いろいろ数字をいじってみましょう。

お礼

27は、3の三乗なのは分かりますが、そこから進めません。

(2a+b+c)×(2a+b+c)
b+cをAとして、（2a＋A）^2＝2a^2＋4aA＋A^2
＝4a^2＋4ab＋4ac＋b^2＋c^2＋2bcですね！！！ありがとうございました！