[溶液散乱] 回転半径Rgの計算(途中計算)について教えてください。

質問

[溶液散乱] 回転半径Rgの計算(途中計算)について教えてください。

以下のページ(PDF)を使って勉強を進めていたのですが、
6ページ目に書かれている回転半径Rgの
(Rg)^2=∫{Δρ(r)・r^2}dVr/∫{Δρ(r)}dVr
という定義式から、
球の回転半径Rg=√3R/5は求めることができたのですが、
6ページから7ページにかけて書いてある、
円柱の回転半径Rg=√{(D^2/8)+(H^2/12)}
を導出することがどうしてもできません。。
円柱の回転半径Rgの導出過程の式をご教授いただけませんでしょうか。

URL：http://www.sci.u-hyogo.ac.jp/sp8ss/sp8ss2002/sp8ss2002doc/oyo4_youeki.pdf

課題として出されたものをこちらでお聞きするのは、大変心苦しいのですが、
2日間考えても導出できなかったので、お力をお借りしようと質問させていただきました。
課題となっているので、可能であれば早めに教えていただければ幸いです。
どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

円柱座標
x=rcosθ
y=rsinθ
z=z
を使い回転半径
(Rg)^2=∫{Δρ(r)・r^2}dVr/∫{Δρ(r)}dVr
の式を書き換えると

(Rg)^2=∫(r^2+z^2)Δρ(r)rdrdzdθ/∫{Δρ(r)}rdrdzdθ
分布は均一ですからΔρ(r)=C （Ｃは定数）と置けます。

積分範囲は
r=0～D/2
Z=-H/2～H/2　　（または 2x (0～H/2))
θ=0～2π
です。

分母は
C∫(r^2+z^2)rdrdzdθ=C(πD^2*H/4)(D^2/8+H^2/12)
分子は
C(πD^2*H/4) 円柱の体積xC
となり、

(Rg)^2=D^2/8+H^2/12
が得られます。

お礼

大変分かりやすくご説明してくださり、ありがとうございました。
おかげで課題についても解答することができました。

教えてもらったときに例として使われていた球のところで、rを重心からの距離ではなく捉えてしまったのが、間違いの原因でした。。

補足質問にもご回答いただきありがとうございました。
こちらをベストアンサーとさせていただきます。

本当にありがとうございました。

補足

drmurabergさん、
さっそくの解答ありがとうございます。
ひとつだけ引っかかっているところがあるので、質問させてください。

円柱座標を用いて、
(Rg)^2=∫{Δρ(r)・r^2}dVr/∫{Δρ(r)}dVr　…(1)
から
(Rg)^2=∫(r^2+z^2)Δρ(r)rdrdzdθ/∫{Δρ(r)}rdrdzdθ　…(2)
への書き換えに際し、
(1)式のr^2が(2)式の(r^2+z^2)と同値で変換されていると思うのですが、
(1)式のrと(2)式のrでは意味合いが異なり、
(1)式のrは「原点(円柱の重心)からの距離」を表し、
(2)式のrは「円柱の重心を通る軸からの距離」を表す
ということでしょうか？

単純に考えると、r^2からx^2+y^2しか導出できませんでしたので、
質問させていただきました。
他の式変形および計算については、問題なかったので、
この疑問にご回答いただければ、幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

drmuraberg

ある座標上で原点(0,0,0)から点(x,y,Z)までの距離rは
r = √(x^2+y^2+z^2) で表されます。

これに円柱座標上でのx,y,zの式を代入し整理します。
r^2 = r^2(sin^2θ + cos^2θ) + z^2
= r^2 + z^2
が得られます。

Δρ(r)を定数Cと置きましたが、これの物理的な意味は
均一密度ということです。蛇足ですが。

お礼

drmurabergさん

お礼が遅くなりまして、申し訳ありません。。
補足質問にご回答いただきまして、ありがとうございます。

drmurabergさんのおかげでもやもやしていたものがすっきりいたしました。

今回はとても丁寧なご回答ありがとうございました。