数学の三平方の定理の質問です。

質問

数学の三平方の定理の質問です。
考えても解けませんでした(^^;;

↓は立方体で、三角錐O-ABCの頂点Oから底面ABCに引いた垂線の長さを求めなさい。
解説をお願いしますm( __ __ )m

回答No.4

H3PO4 · ベストアンサー

この問題は、三角錐O-ABCの体積を２通りの方法で求めてやれば解答はすぐでます。
まず、立方体は正方形の集まりであり、すべての辺が１０であることを念頭に置いて解いていきます。

三平方の定理を用いて、辺ＡＣ、ＡＢ、ＢＣの長さを求めます。
一辺の長さが１０ですから、ＡＣ＾2＝１０＾2＋１０＾2　　　　　ＡＣ＝√２００＝１０√２
他の辺ＡＢ、ＢＣも同様に求めて、ＡＢ＝１０√２、ＢＣ＝１０√２
三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝１０√２であることから正三角形であるとわかる。

ここで、辺ＡＣに中点Ｍをとり、ＡＭ＝５√２とする。
ここから、三平方の定理を使って、辺ＢＭを求める。
　　　ＡＢ＾2＝ＡＭ＾2＋ＢＭ^2
　　　ＢＭ^2＝２００－５０＝１５０
よって、ＢＭ＝５√６

したがって、三角形ＡＢＣの面積は、
　　　　　　　　ＢＭ×ＡＣ×1/2＝１０√５×５√６×1/2＝２５√３０

そして、求めるべき値、頂点Ｏから底面ＡＢＣに引いた垂線を仮に辺ＯＬとします。

以上の条件を使って、三角錐O-ABCの体積を２通りで出します。
１）ＯＢ×（ＯＣ×ＯＡ×1/2）×1/3＝１０×５０×1/3＝５００/３
２）（ＢＭ×ＡＣ×1/2）×ＯＬ＝２５√３０×ＯＬ

１、２はどちらも三角錐O-ABCの体積を求めたものなので以下の式が成り立つ
　　　　　　　　　２５√３０×ＯＬ＝５００/３
これを解くと、ＯＬ＝５００/３×１/２５√３０
　　　　　　　　　＝２０/３√３０
　　　　　　　　　＝２√３０/９

よって、求める値は２√３０/９

回答No.3

nag0720

＃２です。訂正

△ABCは１辺5√2の正三角形なので
↓
△ABCは１辺10√2の正三角形なので

補足

すみません、コピペですが,,

三角形ABCの面積を求めて、50√3でした。

三角錐O-ABCの体積を求める際に、 10*10*1/3をするそうなのですが、
これだと平面になってしまいませんか?
何故これで成り立つのか教えてください(>_<)

回答No.2

nag0720

三角錐の体積は、底面積×高さ÷３　です。
求めたい垂線の長さをxとすれば、三角錐O-ABCの体積は、
△ABCは１辺5√2の正三角形なので、(50√3)*x/3
一方、△OACを底面と考えれば、1000/6
これが一致することからxが求められます。

回答No.1

gohtraw

ＡＣの中点をＤとし、三角形ＯＢＤを考えます。ＯからＢＤに垂線を下ろせばそれが問題で問われている垂線と一致します。

補足

三角形ABCの面積を求めて、50√3でした。

三角錐O-ABCの体積を求める際に、 10*10*1/3をするそうなのですが、
これだと平面になってしまいませんか?
何故これで成り立つのか教えてください(>_<)