x1とx2を独立、同一に分布している(iid)

質問

x1とx2を独立、同一に分布している(iid)
（１）連続のランダム変数
（２）離散のランダム変数
だとします。

(1),(2)においてP[x1<=x2]は計算できるのでしょうか。
計算できるならば計算の仕方、値を算出できないのならばその理由を知りたいです。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

「連続かどうか」というよりは「確率密度関数が全ての x で有界かどうか」の方が重要です.
まず, 連続だろうと離散だろうと iid という仮定から P[x1 ≦ x2] = P[x2 ≦ x1] (= P[x1 ≧ x2]) です. で, P[x1 ≧ x2] = P[x1 > x2] + P[x1 = x2] なので
2 P[x1 ≦ x2] = P[x1 ≦ x2] + P[x2 ≦ x1] = 1 + P[x1 = x2] つまり
P[x1 ≦ x2] = (1 + P[x1 = x2])/2
です. #1 で P[x1 = x2] を書いたのはこれが理由.
ここまでは連続か離散かに関係なく成り立ちます. 問題はここからで, 確率密度が全ての x で有界のときには P[x1 = x2] = 0 です. これは積分してもわかりますし, 直感的には「x1 = x2 を満たす領域の面積は 0」ということからもわかると思います. ということは, 最終的に P[x1 ≦ x2] = 1/2 です.
一方 (離散分布で典型的ですが) 確率密度が ∞ になることがあるような分布の場合には P[x1 = x2] が 0 にはならないので, P[x1 ≦ x2] の値も分布が与えられないと答えられないということになります.

お礼

ありがとうございます。
離散分布で有界ではない分布があるのですね。
その場合でもすべての確率の和は１に収束するのですよね。

回答No.7

Tacosan

変な例ですが, 「連続分布 A と離散分布 B のどちらを使うかを確率的に選ぶ」ような分布を考えると, 「連続分布でありながらその確率密度関数が有界ではない」ということになります.

回答No.5

Tacosan

や, もちろん P[x1 ≦ x2] の積分が「収束する」のはいいんですが, #3 で言っているのは
f が有界でありさえすれば具体的な形を知らなくても P[x1 ≦ x2] の値が計算できる
ということです. 結果は単純に 1/2 なんですが.

お礼

ありがとうございます。
連続分布の場合は収束し、1/2
離散分布の場合は解は求められないということでしょうか
なぜ1/2になるのか
なぜ離散分布のときに解が求められないのかが理解できないのですが、
教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

確率密度が例え有界でなくとも、
確率密度である以上、その全積分は有界です。
(1) の場合、
∫∫[-∞＜x2＜∞, -∞＜x1≦x2] f(x1) f(x2) dx1 dx2
≦ ∫∫[-∞＜x2＜∞, -∞＜x1＜∞] f(x1) f(x2) dx1 dx2
＝ { ∫[-∞＜x1＜∞] f(x1) dx1 }・{ ∫[-∞＜x2＜∞] f(x2) dx2 }
＝ 1・1
なので、P[x1≦x2] の積分は収束するのです。
非負関数の有界な積分は、収束しますからね。

お礼

ありがとうございます。
連続分布の場合は収束し、離散分布の場合は解は求められないということでしょうか
なぜ離散分布のときに解が求められないのかが理解できないのですが、
教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

#1 の時点では見落としていたのですが, (1) で「確率密度関数 f(x) がすべての x で有界」, つまりすべての x に対して f(x) < ∞ なら f の形によらず値が求まるんじゃないでしょうか＞#2.
もちろん連続分布であることは上の「～」を保証しないので, #1 は正しくないわけですが....

回答No.2

alice_44

「計算できる」の意味が「値を算出できる」であれば、
分布の関数形による としか言えません。
どちらの確率も、解析的には表示できて、
(1) x1, x2 共通の確率密度関数を f とすると、
P[x1≦x2] = ∫[-∞＜x2＜∞] ∫[-∞＜x1≦x2] f(x1) dx1 f(x2) dx2
(2) x1, x2 共通の確率関数を f とすると、
P[x1≦x2] = Σ[-∞＜x2＜∞] Σ[-∞＜x1≦x2] f(x1) f(x2)
これらの式の ∫ や Σ を解消して、
「値を算出できる」かどうかは、
具体的な f 次第で決まります。

回答No.1

Tacosan

(1) は計算できるけど (2) は無理.
違いは P[x1 = x2] の値.