対偶について

質問

元の命題の真偽と対偶の真偽が一致するという証明方法はどのようなものですか。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

kbannaiさん、こんにちは。

＞元の命題の真偽と対偶の真偽が一致するという証明方法はどのようなものですか。

集合で考えます。
今、p(x)→q(x)である、という命題を考えたとき、
この真理集合を

P={x|p(x)}
Q={x|q(x)}
とするとき、

x∈P→x∈Q
であるから、集合の包含関係は、P⊆Q・・・(1)
となります。

一方、待遇は、
￢q(x)→￢p(x)　ですから、
↑
これは、「ノットq(x)」です

P,Qの補集合をP'、Q'とすると（Pバーのバーがかけないので）

x∈Q'→x∈P'
を表しています。
このときの、包含関係は、Q'⊆P'・・・(2)
です。

(1)(2)は、同じことになりますよね。
これで証明できたと思います。

お礼

丁寧なご説明でありがとうございます。そのとおりですね。ところで、論理学か学校の数学の教科書では説明がありましたか？

回答No.2

yuusukekyouju

「AならばBである」の対偶は「BでないならばAでない」です。
例えば鯨が哺乳類であると証明するかわりに、哺乳類でなければ鯨ではありえないと証明することです。
図形で考えてみましょう、適当な図形を書いてそれをA（鯨）と考えます、次にこの図形をすっぽり含む大きな図形B（哺乳類）を考えます。
「AならばBである」ことをいうためには、Bの図形の外側にAとなる部分がないつまり「BでないならばAでない」を証明すればよいのです。

お礼

ありがとうございました。