数列の和の因数分解について教えてください。

質問

数列の和の因数分解について教えてください。

?(k=1からn)(k+2)^2

＝(1/2n(n+1))+6・1/6n(n+1)(2n+1)+12・1/2n(n+1)+8n

となったのですがどう因数分解すればいよいのかわかりません。
解説お願いします。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

標準的な方法では、
Σ[1,n](k+2)^3
=Σ[1,n](k^3+6k^2+12k+8)
=Σ[1,n]k^3+6Σ[1,n]k^2+12Σ[1,n]k+Σ[1,n]8
={(1/2)n(n+1)}^2+6・(1/6)n(n+1)(2n+1)+12・(1/2)n(n+1)+8n
=(1/4)n^2(n+1)^2+n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)+8n
　　　（分数とnをくくり出す）
=(1/4)n{n(n+1)^2+4(n+1)(2n+1)+24(n+1)+32}
　　　{　｝の中を展開
=(1/4)n{n^3+10n^2+37n+60}
　　　{　}の中を因数分解　因数定理を使う
=(1/4)n(n+5)(n^2+5n+12)
となるます。
最後の因数分解が少し難解かも。

ANo.2さんが指南している別の方法もあります。

s=k+2　とおくと、
Σ[1,n](k+2)^3
=Σ[3,n+2]s^3
=Σ[1,n+2]s^3-Σ[1,2]s^3
={(1/2)(n+2)(n+3)}^2-9
=(1/4)[{n+2)(n+3)}^2-3^2]
=(1/4){(n+2)(n+3)+3}{(n+2)(n+3)-3}
=(1/4)(n^2+5n+12)(n^2+5n)
=(1/4)n(n^2+5n+12)(n+5)

回答No.2

Tacosan

(k+2)^3 でも, 式が間違っていることは同じ.
そして, (k+2)^3 を展開すると無駄に遠回りすることになる.
k が 1～n まで動くってことは, k+2 は 3～n+2 まで動く. つまり, 1 と 2 のときを加えると簡単になるってことだ.

回答No.1

nag0720

文字化けしているのはΣでしょうか。

Σ(k=1からn)(k+2)^2
＝(1/2n(n+1))+6・1/6n(n+1)(2n+1)+12・1/2n(n+1)+8n

因数分解の前に、この式自体が間違ってます。
nに１とか２を代入して検算してみた？

補足

Σです。
(k＋2)^3でした。すいません。