不等式が示す領域について質問です。

質問

よろしくお願い致します。
不等式が示す領域についてわからないところがあります。
直線や二次式の範囲はわかります。

参考書に載っていてわからないのは、
Y＞a/xとxy>aの示す範囲が異なることです。
どうして違うのでしょう？
この二つの式はｘが分母なので０になれないことを除けば
同じ式だと思いますが？

同様に、ｙ＜a/xとxy<aの示す範囲、
y>-a/xとxy>-aの示す範囲、
y<-a/xとxy<-aの示す範囲も
それぞれ異なります。

分数式にｘをかければ、もう一つの式と同じになると思うのですが？
アドバイスをお願い致します。

回答No.4

kkkk2222

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既に回答は示されていますが、表現を変え見ます。
また多数の例が記載されていますが、
＜本質は唯ひとつであり＞
a＝１とします。
また、この事項は＜間違え易い＞です。

Ｐ：　Ｙ＞１／Ｘ
Ｑ：　ＸＹ＞１

＜不等式の両辺に、負の数を掛けると不等号の向きが逆になる＞
これは充分了解済みのはずです。

しかし分母が文字になると＜うっかりミス＞が頻出します。
ここまでで御理解できたかもしれませんが、つづけます。

ＰにおいてＸは正か負か不明です。
不明と言うより＜正の場合、と負の場合がある＞です。
両辺にＸを乗ずると、Ｘが負の場合には不等号の向きが逆になります。
ＰをＱの形に変形する時は、場合分けが必要となり、２とおりの形となります。
ＱをＰの形に変形する時も同じです。

場合分けしない変形としては＜Ｘ＞ではなく＜Ｘ＾２＞を乗じます。
（Ｘ＾２）Ｙ＞Ｘ
Ｘ（ＸＹ－１）＞０　
此れは＜Ｘ≠０を含み＞Ｐと同値ですが、
Ｑと同値でない事が読み取り易くなります。
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回答No.3

komimasaH

ｘ>0、x<0でちゃんと場合分けして、前者ではxY>a、で、後者ではXY<aとすれば、Y>a/Xと同じになります。ただし、こんな面倒くさいことはする必要はなく、Y>a/Xですぐ範囲は書けます。

一方、はじめからxの領域にかかわらず、XY>aなら、原点からみて、曲線の遠いほうの領域であることは明らかです。

回答No.2

sanori

一言書き忘れましたが、
それぞれの不等式を解くときは、ｘ＞０　と　ｘ＜０　の２通りに場合分けして解きます。

たとえば、
Y＞a/x
を例に取りますと、

ア）　ｘ＞０　のとき：　　ｘＹ＞ａ　かつ　ｘ＞０
イ）　ｘ＜０　のとき：　　ｘＹ＜ａ　かつ　ｘ＜０

「アまたはイ」が求める範囲になります。

回答No.1

sanori

Y＞a/x　と　xy>a
ｙ＜a/x　と　xy<a
y>-a/x　と　xy>-a
y<-a/x　と　xy<-a

ｘが正の数（ｘ＞０）ならば、同じになります。

ｘが負の数（ｘ＜０）ならば、両辺にｘを掛ける時、符号をひっくり返さないといけません。

一般に不等式では、両辺に負の数を掛ける時、符号はひっくり返さないといけません。

分かりやすい例

－３　＜　－２　　←正しい
両辺に－１を掛けると
３　＞　２　　←やはり正しい
３　＜　２　　←変なことになりました。